大学概率论与数理统计公式全集.pdf
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1 大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBABAAB结合律CBACBACBA)()(ABCBCACAB)()(分配律ACABCBA)())(()(CABABCA德摩根律BABABAAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式)(1)(APAP加法公式)()()()(ABPBPAPBAP条件概率公式)()()(APABPABP乘法公式)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP全概率公式niiiABPAPBP1)()()(贝叶斯公式（逆概率公式）1)()()()( )(iijjj jABPAPABPAP BAP伯努利概型公式nkppCkPknkk nn,1 ,0,)1()(两件事件相互独立相应公式)()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；1)()(ABPABP；1)()(ABPABP2 二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(bFbXP)()()(aFbFbXaP2、离散型随机变量分布名称分布律0–1 分布), 1(pB1 ,0,)1()(1kppkXPkk二项分布),(pnBnkppCkXPknkk n,, 1 ,0,)1()(泊松分布)(P, 2, 1 ,0, !)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1, 0,)1()(1kppkXPk超几何分布),,(nMNH),min(,, 1,,)(Mnllk CCCkXPn Nkn MNk M3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(baU 其他,0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF, 1,,0)(指数分布)(E 其他, 00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx正态分布),(2Nxexfx 222)(21)(xttexFd 21)(222)(标准正态分布)1 ,0(Nxexx2221)(xttexFd 21)(222)(3 三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布jjijjiiipyYxXPxXPp),()(iiijjijjpyYxXPyYPp),()(2、离散型二维随机变量条件分布2, 1, )(),( )(i PpyYPyYxXP yYxXPpjijjji jiji2, 1,)(),( )(j PpxXPyYxXP xXyYPpiijiji ijij3、连续型二维随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数xy dvduvufyxF),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：xXdvduvufxF),()(边缘密度函数：dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(5、二维随机变量的条件分布yxfyxfxyf XXY,)(),()(xyfyxfyxf YYX,)(),()(4 四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：1)(kkkpxXE连续型随机变量：dxxxfXE)()(2、数学期望的性质(1)为常数C,)(CCE)()]([XEXEE)()(XCECXE(2))()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()()()()(1111nnnnXECXECXCXCE(3) 若 XY相互独立则：)()()(YEXEXYE(4))()()]([222YEXEXYE3、方差：)()()(22XEXEXD4、方差的性质(1)0)(CD0)]([XDD)()(2XDabaXD2)()(CXEXD(2)),(2)()()(YXCovYDXDYXD若 XY相互独立则：)()()(YDXDYXD5、协方差：)()(),(),(YEXEYXEYXCov若 XY相互独立则：0),(YXCov6、相关系数： )()(),(),( YDXDYXCovYXXY若 XY相互独立则：0XY即 XY不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov(2)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov5 8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布), 1(pBp)1(pp二行分布),(pnBnp)1 (pnp泊松分布)(P几何分布)( pGp1 21pp超几何分布),,(nMNHNMn1)1(NmNNMNMn均匀分布),(baU 2ba12)(2ab正态分布),(2N2指数分布)(E1216 五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2XDXE对于任意0有2)(})({XDXEXP或2)(1})({XDXEXP2、大数定律：若nXX1相互独立且n时，niiDniiXEnXn11)(11(1) 若nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Mi2则：niiPniinXEnXn11)(),(11(2) 若nXX1相互独立同分布，且iiXE)(则当n时：PniiXn113、中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，当n 充分大时有：) 1 ,0( ~1N nnXYnkkn(2) 拉普拉斯定理：随机变量),(~)2, 1(pnBnn则对任意 x 有：xt nxxdtex pnpnpP)( 21} )1({lim22(3) 近似计算：)()()()(11nnannbnnbnnXnnaPbXaPnkknkk7 六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数)( xF样本),(21nXXX的联合分布为)(),( 121knknxFxxxF2、统计量(1) 样本平均值：niiXnX11(2)样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11(3) 样本标准差：niiXXnS12)(11(4)样本k阶原点距：2, 1,11kXnAnik ik(5) 样本k阶中心距：nik ikkkXXnMB13, 2,)(1(6) 次序统计量：设样本),(21nXXX的观察值),(21nxxx，将nxxx21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(nxxx， 记取值为)(ix的样本分量为)(iX， 则称)()2()1(nXXX为 样 本),(21nXXX的 次 序 统 计 量 。
),m i n (21)1(nXXXX为 最 小 次 序 统 计 量 ；),m a x (21)(nnXXXX为最大次序统计量3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量nXXX21,相互独立，且都服从标准正态分布)1 ,0(N，则随机变量22 22 12 nXXX所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(~22n性质：①nnDnnE2)]([,)]([22②设)(~),(~22nYmX且相互独立，则)(~2nmYX(2)t分布：设随机变量)(~),1, 0(~2nYNX，且 X与 Y独立，则随机变量： nYXT所服从的分布称为自由度的n的t分布，记为)(~ntT性质：①)2( ,2)]([, 0)]([nnnntDntE②222)(21) 1 , 0()(limxneNnt(3)F分布：设随机变量)(~),(~22 12nVnU，且U与V独立，则随机变量 21 21),(nVnUnnF所服从的分布称为自由度),(21nn的F分布，记为),(~21nnFF性质：设),(~nmFX，则),(~1mnFX8 七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用),,(21nXXX估计总体参数，称),,(21nXXX为的估计量，相应的),,(21nXXX为总体的估计值。
2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法： （总体矩 =样本矩）离散型样本均值：niiXnXEX11)(连续型样本均值：dxxxfXEX),()(离散型参数：niiXnXE1221)(3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：nXXX,,21取自X的样本，设)]()()[,(~PXXPxfXi或则可得到概率密度：] )()(),,([ ),(),,,(1121121niiniinnniinPxXPxXXXXPxfxxxf或基本步骤：①似然函数：] )([ ),()(11niiniiPxfL或②取对数：niiXfL1),(lnln③解方程：0ln,, 0ln1kLL最后得：),,(,),,,(212111nkknxxxxxx。
