微分几何练习题库及参考答案(已修改).pdf

1 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)ijk] ttt138ijk ．2．设f( )(sin )ijttt，2g( )(1)ijttte，求 0lim(( )( )) tf tg t 0 ．3．已知42r( )d =1,2,3tt，64r( )d =2,1,2tt，2,1,1a，1, 1,0b，则4622( )( )ar t dt+ba r t dt= 3, 9,5 .4．已知( )r ta（a为常向量），则( )r ttac．5．已知( )rtta， （a为常向量），则( )r t212t ac．6. 最“ 贴近” 空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面 ____. 7. 曲率恒等于零的曲线是 _____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是 _____ 平面曲线 ________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线( )rr t在 t = 2 处有3，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11. 若在点00(,)uv处v0urr， 则00(,)u v为曲面的 _ 正常______点. 12． 已知( )(2)(ln )f tt jt k ，( )(sin )(cos )g tt it j ，0t，则40()dfg dtdt4cos62．13．曲线3( )2 ,,tr tt te在任意点的切向量为22,3,tte．14．曲线( )cosh ,sinh ,r tat at at 在0t点的切向量为0, ,a a ．15．曲线( )cos , sin ,r tat at bt 在0t点的切向量为0, , a b ．16．设曲线2:,,ttC xe yezt ，当1t时的切线方程为21 11 zeeyeex．17．设曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________ . 19. u－曲线（ v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____ Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20. 在欧拉公式22 12cossinnkkk中，是方向(d) 与 u－曲线的夹角 . 21. 曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK.22．已知 r( , ),,u vuv uv uv ，其中2,sinutvt ，则drdt2cos ,2cos ,2costtttvtut．23．已知 r(, )coscos ,cos sin ,sinaaa，其中t，2t，则2 dr(, )dtsincos2cos sin ,sinsin2cos cos ,cosaataata．24．设( , )rr u v为曲面的参数表示， 如果0uvrr，则称参数曲面是正则的； 如果:()rGr G是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果 u曲线族和 v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面 r( , ), ,0u vu v的第一基本形式为22dduv，面积微元为d du v．27．悬链面 r( , )cosh cos ,coshsin ,u vuvuv u 第一基本量是22cosh0,coshEuFGu，．28．曲面zaxy上坐标曲线0xx ，0yy 的交角的余弦值是2 002222 00(1)(1)a x ya xa y.29．正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bv 的第一基本形式是2222d()duubv ．30．双曲抛物面 r( , )(),(), 2u va uvb uvuv 的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)d d(4)dabvuabuvu vabuv ．31．正螺面( , )cos , sin ,r u vuv uv bv 的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d:duv是渐近方向的充要条件是22( )020nkdLduMdudvNdv或．33. 方向(d)d:duv和(δ )δ :δuv共轭的充要条件是(,)0()0dr δ rLduδ uM duδ vdvδ uNdvδ vII或．34.是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN．35.(d)d :duv是主方向的充要条件是22 dddd00dddddvdudvduE uF vL uM vEFGF uG vM uN vLMN或．36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d:d )uv是主方向，则nndnk drk，其中是沿方向 (d) 的法曲率 ．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于(C) 在 P 点的切平面上的正投影曲线 ( C*) 的曲率．39．,,gnk kk 之间的关系是222 gnkkk．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．41．正交网时测地线的方程为3 cossin 22 cossinvuEGd=dsE GGE du=dsE dv=dsG．42．曲线是曲面的测地线，曲线( C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题1．已知( ), ,ttr te t e，则r (0)为（ A ） ．A. 1,0,1 ； B. 1,0,1 ； C. 0,1,1 ； D. 1,0, 1 .2．已知( )( )rtr t，为常数，则( )r t为（ C ） ．A. ta； B. a； C. te a； D. e a. 其中a为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D ） ．A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；D．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（A ）A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有 .5．球面上的大圆不可能是球面上的（D ）A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线． . 6. 已知 r( , ), ,x yx y xy ，求(1,2)dr为（ D ） ．A. d ,d ,d2dxyxy ； B. dd ,dd ,0xyxy；C. d -d ,d +d ,0xyxy； D. d ,d ,2ddxyxy . 7．圆柱螺线cos ,sin ,rtt t 的切线与 z轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角 4； D. 有固定夹角 3. 8．设平面曲线:( )C rr s，s 为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ） ．A. 为单位向量； B. ； C. k； D. k. 9．直线的曲率为（ B ） ．A. -1 ； B. 0； C. 1； D. 2. 10．关于平面曲线的曲率:( )C rr s不正确的是（ D ） ．A. ( )( )k ss ； B. ( )( )k ss ，为( )s的旋转角；C. ( )k s； D. ( )| ( ) |k sr s . 11．对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（ D ） ．4 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件 . 12．下列论述不正确的是（ D ） ．A. ,,均为单位向量； B. ； C. ； D. . 13．对于空间曲线C， “挠率为零”是“曲线是直线”的（B ） ．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件 . 14．2sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与 z 轴关系为（ D ） ．A. 垂直；B. 平行； C. 成 3的角；D. 成 4的角. 15．椭球面2222221xyzabc的参数表示为（ C ） ．A. , ,cos cos ,cossin ,sinx y z；B. , ,cos cos , cos sin ,sinx y zab；C. , ,cos cos , cos sin , sinx y zabc；D. , ,cos cos , sincos , sin 2x y zabc. 16．曲面2233( , )2,,r u vuv uvuv在点(3,5,7)M的切平面方程为（ B ） ．A. 2135200xyz； B. 1834410xyz；C. 756180xyz； D. 1853160xyz. 17．球面( , )cos cos ,cos sin ,sinr u vRuv Ruv Ru 的第一基本形式为（ D ） ．A. 2222(dsind)Ruu v； B. 2222(dcoshd)Ruu v；C. 2222(dsinhd)Ruu v； D. 2222(dcosd)Ruu v. 18．正圆柱面( , )cos ,sin ,r u vRv Rv u 的第一基本形式为（ C ） ．A. 22dduv； B. 22dduv； C 222dduRv； D. 222dduRv. 19．在第一基本形式为222(d ,d )dsinhduvuu vI的曲面上，方程为12()uv vvv的曲线段的弧长为（ B ） ．A．21coshcoshvv ； B．21sinhsinhvv ；C．12coshcoshvv ； D．12sinhsinhvv ．20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ） ．A．0E； B．0F； C．0G； D．0M．21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ） ．A．极小曲面； B．球面； C．常高斯曲率曲面； D．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ） ．A．0； B．1； C．2； D． 3 ．5 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ） ．A ．1ln2EuE； B．1ln2EvG；C．1ln2GvE； D ．1ln2EuG．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ） ．A． 直线；B． 平面曲线； C ． 抛物线； D ． 圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数( )rr t具有固定长度，则( )( )r tr t.√2. 向量函数( )rr t具有固定方向，则( )( )r tr t.√3. 向量函数( )r t关于 t 的旋转速度等于其微商的模( )r t .×4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线 . ×5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线 . √6. 圆柱面{cos ,sin, },rRRzz线是渐近线 . √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. ×8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换 . ×11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一．×13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向．√15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不。