传递矩阵法在搅拌轴临界转速计算中的应用.pdf

第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 传递矩阵法在搅拌轴临界转速计算中的应用 传递矩阵法在搅拌轴临界转速计算中的应用 秦宗慧 1，张雷2 （1.华东理工大学石化学院，上海 200054；2.上海理工大学机械工程学院，上海 200093） 摘摘 要： 要： 根据各种搅拌装置中搅拌轴的结构特点，利用传递矩阵法对搅拌轴的临界转速进行计算，用 MATLAB 编制了传递矩阵法的计算程序考虑到各种因素对搅拌轴临界转速的影响，通过改变搅拌轴的直 径和长度，分析不同直径和长度对搅拌轴临界转速的影响；通过改变支点位置，分析不同支点位置和支点间 距对搅拌轴临界转速的影响，使所计算的搅拌轴的临界转速更为精确，为搅拌轴的设计和校核提供了方便， 也为搅拌装置的振动问题提供了找出问题的方法以及最有效的解决方案 关键词： 关键词： 传递矩阵；临界转速；搅拌轴 Application of Transfer Matrix Method in the Critical Speed Calculation of Agitating Shaft QIN Zong-hui1, ZHANG Lei2 (1.East-China University of Science and Technology,200054; 2.University of Shanghai for Science and Technology, 200093) Abstract: In this paper, the transfer matrix method of calculating the critical speed of agitator shaft according to the structural characteristics of agitator shaft is presented. The program MATLAB is used to make the computer programs of transfer matrix method. Considering various factors in the influence of shafting critical speed, the author analyzes the influence of different diameters and lengths towards the critical speed of agitator shaft by changing the diameter and the length of agitator shaft. And the author also analyzes the influence of different fulcrum places and fulcrum interval towards the critical speed of agitator shaft by changing fulcrum place. Thus the calculation of the critical speed of agitator shaft becomes more accurate, and the design and check of the critical speed of agitator shaft become easier. This paper results in providing an effective method of discovering and solving the vibration problems of agitator devices. key words: Transfer matrix；Critical speed；Agitator shaft 作者简介：秦宗慧(1961－), 女, 讲师, 硕士 1 引言引言 搅拌设备被广泛应用于工业生产中，尤其是在化学工业中。

因其发展时间较短，运行过程中产生的 振动问题有待解决搅拌设备中最为关键的部件为传动中枢即搅拌轴如果其工作转速恰好等于或者接 近临界转速，会引起强烈共振为了防止共振的发生，避免损坏搅拌轴或轴上的零件，在搅拌设备的设 计中，必须按照有关设计规定进行搅拌轴临界转速的校核，以保证搅拌轴的安全稳定运行 我国行业标准 HG/T20569-94《机械搅拌设备》中有关搅拌轴一阶临界转速的计算方法即依据了雷列和 其他方法的相互结合而编制的但这种方法不一定适用于多支承、多层搅拌器和高速搅拌轴因此有必要 提供一种适合计算一阶、二阶甚至更高阶临界转速的计算方法[1] 采用传递矩阵法建立数学模型，应用先进的工程计算软件 MATLAB 进行计算综合考虑各种影响因 素的传递矩阵,把传递矩阵法融入 MATLAB 强大的矩阵符号计算功能之中，编制了简明易懂的 m 文件进 行计算通过使用 MATLAB 6.1 中简便的图形用户界面设计（GUI）设计了友好的人机交互界面，使输 入更加方便准确 1 MATLAB 简介简介 MATLAB 源于 MATrix LABoratory 一词，原意为矩阵实验室一开始它是一种专门用于矩阵数值 计算的软件。

随着 MATLAB 逐渐市场化，MATLAB 不仅具有数值计算功能，而且有数据可视化功能 自 MATLAB 4.1 版本开始，MATLAB 就拥有了自己的符号计算功能，同时应用范围也进一步拓宽在 MATLAB 6.0 中，MATLAB 不仅在数值计算、符号计算和图形处理等功能上进一步加强，而且又增加了 一些工具箱目前 MATLAB 已经拥有了数十个工具箱，供不同的专业人员使用 除了指令行操作的直接交互使用方式外，MATLAB 作为高级应用软件有它自己的编程语言 MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的习惯形式十分相似，简单易学 比如，解线性方程 b＝Ax，在 MATLAB 中校写成 b＝A *x而若要通过 A．b 求 x．那么只要写到 x＝A ／b 即可完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行烦琐的编程因此．用 MATLAB 求解问题要比用 C、 FORTRAN 等计算机高级语言简捷得多MATLAE 与其它高级语言的关系仿佛高级语言与汇编语言的关 系一样，尽管它的执行效率比其它的高级语言低，但是其编程效率、程序的可读性、可移植性要远高于 它们使用 MATLAB 可以很容易地实现 C 或 FORTRAN 语言的几乎全部功能，包括 MS—Windows 图形 界面的设计功能。

MATLAB 简单易用的特点还表现在它是一种解释性的语言，由于免去了编译过程，程 序的编制、修改、运行和调试都是极为方便的，对于这一点，凡是偏爱 BASIC 语言的人都会有一点体会 因此对于从事数值计算、 计算机辅助设计和仿真的人员来说， 用 MATLAB 编程的确是一个最好的选择[2] 2 传递矩阵法传递矩阵法 求解搅拌轴的临界转速问题，可以转化为把搅拌轴简化为粱的力学模型，再求解梁的横向振动固有 频率问题即将实际的搅拌轴按轴径及轴上零部件的不同，分为若干段，每段的质量以集中质量代替， 并按质心不变的原则分配到该轴段的两端，两端的集中质量用只有弹性而无质量的等直径轴联结，其抗 弯刚度 EI 和实际轴段相等 在传递矩阵法中,对整个模型的各个单元逐一依次传递，则总传递矩阵[T]联系了始末 2 个状态矢量， 即[3]： 2 { }[ ][ ]{ }[ ] [ ][ ] [ ]{ }L NN L LR N R N ZTTTTZT Q M y T Q M y Z 01210 0 L − == ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = θθ = （1） { }LZ uuuu uuuu uuuu uuuu 0 44434241 34333231 24232221 14131211 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 式中：{ }、——模型始末两端状态矢量； L Z 0 { }R N Z [T]——总传递矩阵，它也是 4 阶方阵，由 16 个元素构成。

ji u [T]的所有元素都是已知的，而两列矢量的所有八个元素是未知的由于要满足两端边界条件，各有 两个元素是已知的如轴的两端为自由，即最左端 0 点的左边有0 00 == QM，最右端 n 点右边有 ，将此边界条件代入式（1）可得： 0== NN QM RR N y uuuu uuuu uuuu uuuuy 0 44434241 34333231 24232221 14131211 0 0 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θθ （2） 展开后得： ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ += += += += 042041 032031 022021 012011 0 0 θ θ θθ θ uyu uyu uyu uyuy N N （3） 当轴横向振动时，、 0 y 0 θ不全为零，故上式中两个方程的系数行列式必等于零，即： 0)( 4241 3231 ==∆ uu uu ω （4） 这个行列式是ω的函数，所以可画成行列式和ω的关系曲线，则该曲线与水平线相交的ω值，就是 固有频率也就是临界转速。

如图 1 所示式 4 称为系统的频率方程 3 集中质量单元的点传递矩阵为: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 0100 0010 0001 2 ωm T i （5） 式中: m—第i单元（它是无质量单元）的质量 kg； m ω —模型的振动圆频率，也是所求固有频率的未知变量 rad/s 支承的传递矩阵为： （6） [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 100 0100 0010 0001 k T i 无质量等直径轴段单元的场传递矩阵为： [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1000 100 210 621 2 32 l EIlEIl EIlEIll T i （7） 式中：l 第 单元（它是无质量轴单元）的轴段长度 m； i E 该轴段材料的拉压弹性模量 Pa； I 该轴段的截面惯性矩 m 4。

ω )(ω∆ 图 1 ωω−∆)(曲线图 Fig.1 ωω−∆)( curve 在传递矩阵法中，可以方便的考虑回转效应对临界转速的影响对于那些需要考虑回转力矩的大直 径圆盘，容易建立点传递矩阵 [ ] （8） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 100 01)(0 0010 0001 2 2 ω ω m JJ T dp i 式中：——大直径圆盘的质量 ； mkg 、——该圆盘的极转动惯量、对直径的轴转动惯量 ； P J d J 2 mkg⋅ ω——回转体的转速， 也就是横向振动的圆频率， 它也就是所求固有频率的未知变量 srad / 4 D1 L a 图 2 悬臂轴 Fig.2 the shaft of cantilever 3 算例分析算例分析 例：一个等。