家辉培优陈怡老师教研文章——《以”高斯函数”为背景的问题中蕴含的数学思想分析》.docx

家辉培优——只为再优秀一点 www.jhpy.org以”高斯函数”为背景的问题中蕴含的数学思想分析作者：家辉培优数学老师——陈怡表示不超过 的最大整数,比如 ,把函数 称为高斯函数,又[]xx[2.4],[1.3]2[]yx称为取整函数. 在高中数学的各知识点中,频繁出现以高斯函数为背景的问题,高斯函数也是高考和竞赛的热门素材,它形式新颖，解答巧妙，能考察学生的数学素养和潜能.本篇文章通过列举一些高斯函数与高中数学各个知识点相结合的问题,在分析并解决这些问题过程中，最后总结背后蕴含数学思想.一、不等式思想与高斯函数取整符号 本身就蕴含不等式 ，因此在处理一些高斯函数方[]x11xx程问题的时候，可以构造出不等式，通过解不等式的解集确定方程可能的范围.然后逐一带入验证得到方程的解. 例 1、设 表示不超过实数 的最大整数，则集合 中所有[]m2{|930[]}xRx元素的和为 .解析：由 ，得 ，则 从而 2930[]()x230[]90[]1,.因为 所以 所以， 即 ,2.x[]x2(35)x所以 .若 ，代入得 ；若 带入得 .[]1x或 []113,2103故集合中所有元素的和为 0.例 2、若 为正数， 表示不超过 的整数部分， 如果 顺次组成a[]a{}[],a[]{}a、 、等比数列，则 .解析：由题意得， 即 整理得： ，因为2[]{}2[]([])2[]()，得到 即 解得 .所以，[]1a22(1))aa2310,a35,a当 代入 得： 符合要求；当 ，代入 得[].或 [],()5[]2()不符合题意.因此， . 15a12a点评：解带有高斯函数的方程，一般先要确定 的范围，然后再一一代入原方程求解.如[]x何求解 的范围，例题 1 给出两种不同的方法.首先是 ，通过这个不[]x 230[]90x 家辉培优——只为再优秀一点 www.jhpy.org等式可以得到 的范围;再有 然后得到 这是一种基于 本[]x[],x29[]30,x[]x身的范围，通过放缩得到的一个不等式.例题 2 通过 先确定了 范围，再得到1aa的范围.总结方法，通过问题外部的不等式结构和本身的不等式得到关于 或者 的[]a x[]范围,得到 的范围，再代入计算.这里主要体现了体现了不等式的思想.[]x2 、分组思想与高斯函数要计算 的值，需要分 讨论，当 取这三个值10[]3k3,1,32nknkn,因此把 取这三个数分为一组进行分组计算 =[]3nn0132[]][]k k.有些分组问题需要一定的技巧，比如当 ,0168k ,xyZ这个性质在计算取整问题中(例 4)显得特别有用. [][].xy例 3、符号 表示不超过 的最大整数， 是正整数，则 . xn2014([][])36nn解析：设 ，任意 ， ()[][]236nfkN6(),kkf同理可得：611,kf (2)1f(3),(4)3fk(65)3,fk所以， 2014([][]6nn201[][]n0(6)(1)(62)kffkf = =202709(63)()(5)()fkffkf350(9)(35)kf1点评：这里对 以 的余数分了 6 类，这样的分类能使得 都能求出来，这里n [],236n的 是 的最小公倍数.在计算的过程中，注意到 时 ，再以六为循环62,3 0k()f进行计算.这里体现了分类讨论以及分组求和的思想.例 4、设 ，则 .（符号 表示不超过89na1232014[][][]Saa []x 家辉培优——只为再优秀一点 www.jhpy.org的最大正整数） x解析: 对任意的 均不是整数，且 .21ka、 21212189kkka所以对任意的正整数 .所以,212[]8kk-1007.10710710707122(64)8()63kkSa 点评：本题的突破点在于以下事实： ，且 ，则 .发现Zxy,xy[]xy了这个性质之后，用分组求和的方法即可.接下来，我们解决一个稍复杂的变式问题：求 . 232016[][][]77S解析：假设 ，对任意的 不是整数，且满足 .kaka 32321kkkaa所以 又因为 ，所以32323231[][]1.kkkk或 7k，因此 ，得 =1，{}73{}kka32313123{}{}{}kkkaaa所以 ，所以 232313[][]1kkka.67267 6723323131 18[]()kkkkSa 3、对应思想与高斯函数在解析几何中，方程对应了坐标平面内的一条曲线.取整符号 对应了数轴上的点[]1x，高斯函数与解析几何相结合的问题中，往往体现了这种对应思想.[0,1)例 5、 表示不超过 的最大整数，则在平面直接坐标系 中，满足 的]xxxOy[]2013xy所有点 组成的图形面积为 . (,)y解析：满足 对应的 所组成的图形就是不等式[],xab(,)xy围成的区域，其面积是 1.1.ay因为 ，所以满足 的点2036712031836[]2013xy 家辉培优——只为再优秀一点 www.jhpy.org组成的图形面积为 .(,)xy416点评：本题整数对 要联系到直角坐标系中的对应的区域，2013 要想到所有的因式([],)xy分解可能性. 同样的思路请读者完成以下问题：设 表示不超过实数 的最大整数，则在平面上，[]xx由满足 的点所形成的图形面积是 . 2[]50xy4、换元思想与高斯函数换元法是高中数学的重要思想，通过换元，把问题转化，使问题简化，怎样换元，如何换元,为什么这样换元，是一个非常值得探讨的问题.例 6、对正整数 设 是关于 的方程 的实根，记 （符,nx320nx[(1)]nnax号 表示不超过 的最大整数）.则 . []x 342011()05a解析：设 ，则原方程转化为 ，设方程 的解为(1)tnx3(()ttnn()，容易验证 ，因此 .ntnnt[]at设函数 ，则 ， .当32()1fttt()fn231)(()2fn时， ，所以 ，所以 .2n0,()ffn,nt[]na所以 =2013.234201(15aa 201()5点评：本例利用换元思想，把原来要求整的表达式看成一个变量，这样只需要求换元后方程的解.利用零点定理寻找函数的解，只需要寻找两个正整数 ，两个端点函数值异,1n号，就得到该变量的取整后的值.本题很好地把换元思想，零点定理和高斯函数融合地结合. 例 7、若 表示不超过 的最大整数，则关于 的函数 存在最大值[]xxx()|[]|fxa则正实数 的取值范围是 . (),Maa解析：设 ，其中 为整数， . 则,xN[0,1)， ，则原问题只需求 ()|||f a能取到最大值时整数 的取值范围. 通过作出函数图象，容易||,[0,1)gaa 家辉培优——只为再优秀一点 www.jhpy.org得到，当 ，函数 的最大值为 ，但 1 取不到，因此不存在最大值；当12a()g()g函数 最小值为 且 在定义域内.所以 ,()0, .2a点评：本题对取整表达式的进行换元，并不是常见的换元方法，而是结合了取整函数的特点的换元 换成一个整数加小数部分 ，把得到了非常简单的表达式，使得原来xaN表达式里既有取整符号又有绝对值符号的复杂的函数转化为一个常见的函数问题.本题体现了换元思想和取整符号合理结合.5、单调思想与高斯函数则 .特别地， 则 ，则 或,xy[]xy1,xy[];xy10x[]xy.这个性质表明取整函数是一个非减函数；还可以通过两个数的差的大小，估[]1算两个数取整之后的差异.例 8、设 表示不超过 的最大整数， ，则这 100 个整数中[]xx209[],k1,0ka不同的整数的个数为 .解析：以下事实： 则 若 ，则 或 . 1,y[];yxy[]xy[]1,当 ， 当 ，209209()kk[,4]2091;()k[45,9]k1.()所以， ; , 或 ，且1245aa [4510]k1ka1ka，由此得： 中一共有 44-20+1=25 个数； 各不相同0610,, 24,且 ，所以一共有 25+44=69 个不同的整数.45点评：本题通过比较相邻两个数的差的大小来判断取整之后的大小.从 45 项起，前后两项满足 或 ，且 得到 45 项到 100 项的不同个数为1ka1ka4510,2,a25 个，显示了本题的精髓和巧妙之处，不禁让人醍醐灌顶！ 6、进制思想与高斯函数例 9、对正整数 ，记 其中 为满足 的最小整数，x23[][][],2kxxm 2kx符号 表示不超过 的最大整数， 与 的差，即 称为正整数 的“亏损数”.[] m（如， 时， ，10x23456710101010[][][][]92因此，数 100 的“亏损数”为 3.）则亏损数为 9 的最小正整数 为 .3,m x 家辉培优——只为再优秀一点 www.jhpy.org解析：设正整数 的 2 进制表示为x， 11102 10[]22nnnaaaa 0,k（ 或 ）则 ，得，12012nnx112[] []nnnaaa 则 = =0120212][0n  12[]nxa []x同理得到： ， ,1 2[][]xxa231[],[]]nna所以 02 12[n nxx  因为 ，则 取 或 ，当 ， 1nnxk1,k23[][]]nm当 = ，,k231[][][2nxxm [2xx因此 ，因此若 亏损数是 9，则代表 的二进制表达式中的非012naa零个数为 9.因此， 的最小值为 x872[1]251.点评：本题解题独特，构思巧妙，体现了进制与取整的内在联系.在不同的知识点之间可以相互联系，互相渗透，这也许是数学的奇妙之处吧！。