三角恒等变形及应用(生).docx

三角恒等变形及应用一. 【课标要求】1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系；3. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求 记忆）二. 【命题走向】从近儿年的高考考察的方向來看，这部分的高考题以选样、解答题出现的机会较多，有时候也以填空 题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过 三角式的变换研究三角函数的性质本讲內容是高考复习的重点z—,三角函数的化简、求值及三角恒等式的证叨是三角变换的基本问题 历年高考中，在考察三角公式的学握和运用的同吋，述注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、 运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力三. 【要点精讲】1. 两角和与差的三角函数sin（6z /?） = sin or cos 0 icoscrsin 0 ； cos（a 0） = cos a cos y? + sin（7 sin 0 ；吨0) =旦业鸣1 + tan tan 02. 二倍角公式sin2a = 2sinacosa ；cos2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 &一 1 = 1 一 2sin2 a ；r 2 tan atan la = ；—。

1-tarr a3. 三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的 逆用等2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三用函数种数尽量少；③使项数尽最少；④尽量使 分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数1） 降幕公式1 ・ c . 9 1 - cos 2a 2 1 + cos lasinacosQ = —sin2a ； sirr a = ； cos~ a = □2 2 2（2） 辅助角公式asinx + h cos x = yja2 +h2•sin(x + 0),英中sin二,COS0Clyja2 +b24-三角函数的求值类型冇三类（1） 给角求值：一般所给出的角都是非特殊介J,要观察所给角与特殊介间的关系，利用三用变换消 去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2） 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变 角”，如6Z=（Q + 0丿—0,2q=（g + 0丿+ S — 0丿等，把所求角川含已知角的式子表示，求解时要注意角 的范围的讨论；（3） 给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5.三角等式的证明（1） 三角悝等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一 等方法,使等式两端化“异”为“同”;（2） 三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参 法或分析法进行证明四. 【典例解析】题型1：两角和与差的三角函数例 1.已知sina + sin0 二 1,cosq + cos0 = O,求 cos（q + 0）的值例2.已tan a, tan J3是方程/ -5x + 6 = 0的两个实根根，求2 sin2 (a + 0)-3sin(a + 0)cos(a + /?) + cos2 (a + 0)的值题型2：二倍角公式例3.化简下列各式:(2)(1)1 1 C/—+ —cos2aa e—,2/r12 2<2 丿7? ・ 2cos^ a -sirr a(7t 2/ 、71-+ aCOS-a（4丿U丿2 cot例 4.若 cos[- + 2(4 )込求沁旦沁的值12 4 1 - tan x题型3：辅助角公式.71 . 71as\n——bcos-例5.已知止实数6b满足5 571 .. 71a cos bsm-5 5例 6.(2009 江苏卷)函数 y = A sin(69x + cp) ( A,(o,(p 为常数,A > 0, > 0 )在闭区间［-龙,0］上的图象如图所示，则Q = .(2009北京文)(本小题共12分)已知函数/(x) = 2sin(^- - x)cosx.(I)求/⑴的最小正周期;JT 7T(II)求/(兀)在区间-匕二 上的最大值和最小值.6 2题型4：三角函数式化简例 7・求 sin220 +cos250 +sin20 cos50 J 的值。

1 ->/2 sin(2x-—)例8.已知函数/(%) = .COS兀(【)求/(X)的定义域；4(II)设a的第四象限的角，且tana =——,求.f(a)的值题世5：三角函数求值例9.设函数f(x)= a/3 cos2cos+sin co rcosco x+a(K中co >0,ae R),Hj(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横r坐标为6(I )求3的值；(II)如果f(x)在区间-兰，迴 上的最小值为巧，求^的值例10.求函数y = 2 cos(x + —)cos(x - —) + V3 sin 2^的值域和最小正周期 4 4题型6：三角函数综合问题例 11.设 0< 0<— , ||||线 x2sin 〃+『cos 〃二 1 和 x2cos 0 — y2sin 0二1 有 4 个不同的交点 2(1) 求“的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。