放缩法解题技巧.doc

巧用放缩法解题放缩法是中学数学的常用解题技巧之一，特别适用于思维难度大，构造性强的题目，能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力，本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况．1．和三角形有关的放缩法在和三角形有关的问题中，要用到三角形三个角的度数为正，且和为一个定值，再结合放缩法解题．例1 已知锐角三角形的三个内角度数为A，B，C，并且满足A>B>C，用α表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则α的最大值是_______．分析 因为，A，B，C是锐角三角形的三个内角度数，所以，A－B，B－C，90°－A都大于0，故α也大于0，且不超过上面三个式子的值．利用这一点对α进行放缩．解　因为A，B，C，是三角形的三个内角度数，所以，A＋B＋C＝180，所以原式≤，因此，α的最大值是15°．小结 此题求的是“最小者”的最大值，充分体现了放缩法的灵活性，在解题过程中，利用了三角形的内角和为180°，以及它们的非负性，从而得到答案．2．多个变量的放缩法多变量的问题，由于变量较多且相互约束，学生解题时往往顾此失彼，感到难以入手，这类问题有时可以用放缩法解决．例2 已知x，y，z为3个非负数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若S＝2x＋y－z，则S的最大值与最小值的和为( )(A)5 (B) (C) (D)分析 有多个未知数时，不可能对他们同时进行放缩，在这种情况下，一般先归结为1个未知数，再对这1个未知数放缩．解 由已知，可得不定方程：小结 此题给了3个未知数，2个方程，本质上是一个不定方程组，可以用一个未知数表示其余2个未知数，从而把多个未知数的放缩归结为1个未知数的放缩．3．多重放缩法有的问题不是一次放缩就能到位的，往往要经过多次放缩．在同一个题目中，这多次放缩的原理往往是类似的．例3 求方程的正整数解．分析 此题初看好像是一道解不定方程的题，有无数个解，但是，由于x，y，z都是正整数，限定了范围，利用放缩法，结合正整数的离散型，可以得到此题的有限个数的解．解 因为x，y，z都是正整数， 同理，对y进行放缩，可得，3