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圆柱投影、伪圆柱投影介绍butry 发表于 2004-7-12 11:18:27（一）圆柱投影构成的一般公式圆柱投影是假定以圆柱面作为投影面，使圆柱面与地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成当圆柱面与地球相切时，称为切圆柱投影，当圆柱面与地球相割时，称为割圆柱投影图 2-27，假定圆柱与地球相切，视点位于地球中心，纬线投影在圆柱面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都平行于赤道经线投影为垂直于赤道的平行直线各经线间的间隔与赤道上相应的弧长相等如果将圆柱面沿一条母线剪开展成平面，则纬线为平行直线；经线为与纬线正交，且间隔相等的平行直线按圆柱与地球相对位置的不同，圆柱投影有正轴、横轴和斜轴三种正轴圆柱投影的纬线为平行直线，经线为与纬线垂直的平行直线，经线间的间隔与相应的经度差成正比在一般情况下，横轴和斜轴中的经纬线投影为曲线，只有通过球面坐标极点的经线投影为直线下面讨论正轴圆柱投影如图 2-28，设某一经线投影为 X 轴，赤道投影为 Y 轴，球面上的点 A（ ，λ）投影在平面上为 A’（x，y ），由于纬线投影为平行于赤道的直线，故 x 坐标仅为纬度的函数，即 x=f（ ）；经线投影为垂直于赤道的直线，经线间的间隔与相应的经度差成正比，故 y 坐标与经差成正比，即 y=cλ（c 为常数）。

因此，正轴圆柱投影的直角坐标公式为：由此看来，圆柱投影主要是决定 x 的函数形式问题由于决定 x 函数形式的方法不同，圆柱投影亦有多种二）圆柱投影的变形分布规律在正轴圆柱投影中，经纬线是直交的，故经纬线方向的长度比就是最大、最小长度比，即 m、n 相当于 a、b由图 2-28 可以看出，地球面上经线微分弧长 AB=Rd ，纬线微分弧长 AD=rd =Rcos dλ；在投影平面上相应的经线微分线段 A’B’=dx，纬线微分线段 A’D’=dy根据长度比定义，则在纬线长度比公式中的常数 c，可由切圆柱或割圆柱的条件来决定如果是切圆柱，则圆柱与地球切于赤道，赤道的长度比等于 1，以 0 代表赤道由公式（2-17 ）到（ 2-20）可以看出，各种变形均是纬度 的函数，与经度 λ 无关也就是说，圆柱投影的各种变形是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形数值各自相等，因此等变形线与纬线平行，呈平行线状分布在切圆柱投影上，赤道是一条没有变形的线（没有误差的线），称为标准纬线，从赤道向南、北方向变形逐渐增大（图 2-29）在割圆柱投影上，两条相割的纬线（± k）是标准纬线，在两条割线之间的纬线长度比小于 1，两条割线以外的纬线长度比大于 1，离开标准纬线愈远，变形愈大。

图 2-29 中箭头表示变形增加的方向圆柱投影变形的变化特征是以赤道为对称轴，南北方向同名纬线上的变形数量相等根据圆柱投影变形分布规律，这种投影适宜于制作赤道附近和赤道两侧沿东西方向延伸地区的地图三）圆柱投影的种类圆柱投影按其变形性质可以分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意圆柱投影（其中包括等距圆柱投影）无论哪一种都有切圆柱和割圆柱之分在圆柱投影中应用比较广泛的是等角圆柱投影二、等角正轴圆柱投影等角圆柱投影是按等角条件决定 x=f（ ）函数形式的等角正轴圆柱投影由荷兰制图学家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于 1569 年所创，故又名墨卡托投影根据等角条件和公式（2-17）、（2-18），得当 =0°时，x=0 ，故 k=0根据各项变形公式计算出的各种数值列于表 2-5 中从表 2-5 可以看出，在等角正轴切圆柱投影中，赤道没有变形；随着纬度的增高，变形逐渐增大如果采用割圆柱，其变形性质与切圆柱相同，不过变形数值、变化规律不同相割的两条纬线没有变形，是两条标准纬线在两条标准纬线之间是负向变形，离开标准纬线愈远，变形愈大，赤道上负向变形最大在两条标准纬线以外是正向变形，也是离开标准纬线愈远，变形愈大。

表 2-6 为割于纬度±30°两条纬线的等角圆柱投影变形数值表根据上述变形分布情况，切圆柱等角投影适用于作赤道附近地区的地图，割圆柱投影适用于作和赤道对称的沿纬线方向延伸地区的地图此外，也可用这种投影制作时区图、卫星轨迹图等墨卡托投影没有角度变形，且经线为平行直线，所以等角航线（或称斜航线）表现为直线（图 2-30）所谓等角航线，就是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线（图 2-31）等角航线在图上表现为直线这一特性对航海具有很重要的意义，因为根据这个特性，就可以在图上将航行的起点和终点连一直线，用量角器测其与经线的夹角，如果轮船从起点开始一直保持这个角度航行，便可以到达终点但是，等角航线不是两点间的最短距离地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧（又称大圆航线或正航线）如图 2-30 所示，从非洲南端的好望角到澳大利亚南端的墨尔本，两点间的直线是等角航线，这个直线的航程是 6020 海里两点间用粗虚线表示的曲线是大圆航线，沿大圆航线的航程是 5450 海里，它比等角航线短 570 海里（约 1000 公里）因而在进行远洋航行时，完全沿着等角航线航行是不经济的。

通常是先在起点和终点之间绘出大圆航线，然后把大圆航线分成若干段，将每两个相邻的点连成直线，这些直线就是等角航线船只航行时，在每段航线上是沿着等角航线航行的，但是就整个航程来说，是接近于大圆航线的，既经济又方便由于只有等角圆柱投影具有将等角航线表现为直线的特性，所以它在编制航海图中被广泛应用例如我国的航海地图采用这种投影苏联出版的大型海图集中绝大多数图幅都采用这种投影此外，由于这种投影在低纬度地区变形小，而且经纬线网格形状简单，所以常用于编制赤道附近地区的地图例如中国地图出版社出版的一套分国地图中沿赤道的分区地图采用了这种投影世界交通图在纬度±60°以内也采用的是这种投影三、圆柱投影变形性质的分析及图形判别凡是正轴圆柱投影，其经纬线形式具有共同的特征：经线为间隔相等的平行直线，纬线为与经线垂直的平行直线按变形性质，圆柱投影可以有等角、等积、等距及其他任意投影但不论其变形性质如何，只要是切圆柱，其赤道就是标准纬线，即赤道的长度比等于 1，其他纬线长度比均大于 1，离开赤道愈远，纬线长度比愈大只要是割圆柱，相割的两条纬线（± k）为标准纬线，其长度比为 1；在两条割线之内，纬线长度比小于 1，离开标准纬线愈远，其长度比愈小，赤道长度比最小；在两条割线以外，纬线长度比大于 1，离开标准纬线愈远，其长度比愈大。

由于纬线长度比的变化是固定的，因此为了使圆柱投影具有不同的变形性质，就只能改变经线长度比来满足所要求的条件例如，等角圆柱投影，为了保持等角条件，必须使经线长度比等于纬线长度比，即 m=n等积圆柱投影，为了保持等积条件，必须使经线长度比与纬线长度比互为倒数，即 m=等距圆柱投影，为了保持等距条件，必须使经线长度比等于 1，即m=1其他的任意投影，也只能是经线长度比发生变化，例如透视圆柱投影，其经线长度比的变化系根据视点的位置决定表 2-7 表示切圆柱与割圆柱投影中经纬线长度比随投影性质变化的情况，表中 n0、m0 表示赤道上纬线长度比和经线长度比因为变形的变化对称于赤道，故只列出北半球的变形变化情况由于圆柱投影经线为间隔相等的平行直线，所以用目视不易直接判断是切圆柱还是割圆柱，但是只要用直尺量测任一条纬线上两条经线间隔的长度，乘以地图比例尺分母，就可以确定哪一条纬线是标准纬线例如在图上量得经差 30°的两条经线间隔为 33.4mm，地图比例尺为 1∶100000000，则经差 30°的纬线长为 33.4mm×100000000=3340km此数值与赤道上经差 30°的长度 3339.6km 极为接近，因此，可以确定此图的标准纬线是赤道，即为切圆柱投影。

从表 2-7 可以明显地看出，由于投影的变形性质不同，经线长度比的变化不同，经线长度比的变化反映在图形上就是纬线间隔的变化等角投影，经线长度比从赤道向两极逐渐增大，因此它的纬线间隔从赤道向两极是逐渐增大的（图 2-32）等积投影，经线长度比从赤道向两极逐渐缩小，故它的纬线间隔从赤道向两极是逐渐缩小的等距投影的经线长度比不变，所以纬线间隔是相等的根据上述，可以从图形的纬线间隔变化来推断其投影变形性质：如果纬线间隔相等，则为等距投影；如果纬线间隔从赤道向两极不断扩大，则有可能是等角的，也可能是其他任意圆柱投影一般来说，等角投影因其保持了经线长度比与纬线长度比相等，所以纬线间隔从赤道向两极扩大的比较显著，极地不能表示出来若是切圆柱，则纬度 50°—60°两条纬线的间隔约等于纬度 0°—10°两条纬线间隔的 1.7 倍此外，还可以结合地图内容进行判断，如果是航海图或是交通图，因为要求方向正确，一般多用等角投影；任意圆柱投影常用来编制世界时区图等积圆柱投影，纬线间隔从赤道向两极逐渐缩小，这种投影现在很少应用四、等角横切椭圆柱投影——高斯-克吕格投影等角横切椭圆柱投影是以椭圆柱作为投影面，使地球椭球体的某一条经线与椭圆柱相切，然后按照等角条件，将中央经线东西两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得（图 2-33）。

由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Oarl Friedrich Gauss，1777—1855）于 19世纪 20 年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Krüger，1857 —1923）于 1912 年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影高斯-克吕格投影的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交在这个投影上，角度没有变形中央经线长度比等于 1，没有长度变形其余经线长度比均大于 1，长度变形为正，距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上；面积变形也是距中央经线愈远，变形愈大为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影表 2-8 为高斯-克吕格投影 6°带内长度变形数值从表中可以看出：在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大，在赤道处为最大；在同一条纬线上，长度变形随经差的增加而增大，且增长速度较快在 6°带范围内，长度最大变形不超过 0.14％。

我国规定 1∶1 万、1∶2.5 万、 1∶5 万、1∶10 万、1∶25 万、1∶50 万比例尺地形图，均采用高斯-克吕格投影1∶2.5 万—1∶50 万比例尺地形图采用经差 6°分带， 1∶1 万比例尺地形图采用经差 3°分带6°分带是从 0°子午线起，自西向东每隔经差 6°为一投影带，全球分为 60 带，各带的带号用自然序数1，2，3，…60 表示即以东经 0°—6°为第 1 带，其中央经线为 3°E，东经 6°—12°为第 2 带，其中央经线为 9°E，其余类推我国领土位于东经 72°—136°之间，共包括 11 个投影带，即 13—23 带3°分带，是从东经 1°30’的经线开始每隔 3°为一带，全球划分为 120 个投影带图 2-34 表示出6°带与 3°带的中央经线与带号的关系图 2-346°带和 3°带中央经线与带号的关系在高斯-克吕格投影上，规定以中央经线为 X 轴，赤道为 Y 轴，两轴的交点为坐标原点X 坐标值在赤道以北为正，以南为负；Y 坐标值在中央经线以东为正，以西为负我国在北半球，X 坐标皆为正值Y 坐标在中央经线以西为负值，运用起来很不方便为了避免 Y 坐标出现负值，将各带的坐标纵轴西移 500公里，即将所有 Y 值都加 500 公里，如图 2-35 所示。