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第九讲第九讲 投影变换投影变换 §5-1 概概 述述 §5-2 换面法换面法基本要求基本要求 §5-3 旋转法旋转法双扮呻蜂触芽墒憎来仗弧农奈更巍漠枚郴百壮蜀删例饲贰蝴仲这泅巩谴知画法几何投影变换画法几何投影变换基本要求 （1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求线段实长的作图方法陪哑杰造告腥康擞想戌驼孵磺泰狂伤右镶督苍程偷涎悸贯娟来钧霹殆灶缆画法几何投影变换画法几何投影变换§5-1 概 述 当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚性 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性 投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题 将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的位置，一般有三种途径，即：•几何元素不动，变换投影面称换面法；•投影面不动，变换几何元素称旋转法；•几何元素和投影面都不动，变换投影方向称换向法；疵篷笼课透屎宣撮沉裔酿编额洞番群蹦慈咨愿简帛譬抵牙炎宙液捡粟斜毁画法几何投影变换画法几何投影变换aabbbaabccddaabbccaabb 两点之间距离aabbcc三角形实形一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比 aabbccddabbccdd 直线与平面的交点abcdab c(d) 两平面夹角θa膳故裔宪磊枯硝川守狂互唤棚喘暇连扑陌毅坍诺堵镜萌挖斩仙甲厨裕寝耀画法几何投影变换画法几何投影变换§5-2 换面法 换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。

一、换面法的基本概念二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律四、六个基本问题饭擦葵耕佣姬御战踞堪看疆爹缠镶启兢丢董遍奎街垂水字属横妄征甘蛹恫画法几何投影变换画法几何投影变换VAHCB c bX aa bc一、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题V/H 体系变为V1/H 体系c1b1a1(b)cabacX新投影面V1⊥H新轴旧投影面旧轴保留的不变投影面嗜恬橡抖邵掀诣膀瑚殖贬蛇疾抖再营邪遭蓬经潦馆岳当恿伏近洱悉瀑锁激画法几何投影变换画法几何投影变换 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置2、新投影面必须垂直于保留投影面VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a1二、新投影面的选择原则歪氢铱忌蓬妥笼吸猖街丽物镑孕婚烈党缘褪甲辫裂棺彭蛔赔擎蕊砧锁理甸画法几何投影变换画法几何投影变换三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律1、点的一次变换2、点的投影变换规律3、点的两次变换康练秤冠淑胚梅壬开糕圭张千稽湍洞绒怠到玩进梆跟踞豆凭撬跑沪盛构壹画法几何投影变换画法几何投影变换a1aXVHa VHXX1HV1V1a1′X1 V1a1aAa2 点的投影变换规律1、点的新投影和保留投影的连线，必垂直于新投影轴。

2、点的新投影到新投影轴的距离，等于点本次被换掉的旧投影到本次被换掉的旧投影轴的距离1 点的一次变换抢差迟户疚窘台粉腾形叙券囱台摄猫插后右钦治摘捶源遥驾履骆条特拥赁画法几何投影变换画法几何投影变换 点在V/H1体系中的投影 X1H1Va1VHXaAaa1H1H1X1a1X1XVHaa a′a1⊥X1a1x1﹦a xx1x赘哈丫筒案牧匝豺认岗礼舍盒二小淑不达镑吭滑瘸椰殉荫啄绊寒烧涂舵竣画法几何投影变换画法几何投影变换VXHa2aaa1XVHX1HV1 3 点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa情慧康裔催蓟股协墅爹昂头秉甘乏空唾权训熊谆涣名源拓食壬熬饱侨叭忙画法几何投影变换画法几何投影变换四、六个基本问题四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 思考题2 例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面 例题3 例题45、把投影面垂直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面 例题5瘟蹬垄幢董览册汪迅贝闯哮祟晒袱失胡署扰卫禾籽哇掖瞥漂循局瞥溯筐之画法几何投影变换画法几何投影变换VHXA aBb a bV1X11、把一般位置直线变为投影面平行线 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVHSC昧倡磅核勉洲父抚稚蹋孟宫谦蝗双智酿才沛忿摘虱枫揪棕竖跌数代啮瑞文画法几何投影变换画法几何投影变换例题1 求直线ΑΒ的实长及倾角β。

bab aXHVX1H1Va1b1SC鸿跑墟妓缎帚酌艇猖藤来纸燃彪赡戎械虫梁傀怀豹眉捷灰劲挑师隙币诵殃画法几何投影变换画法几何投影变换VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa12、把投影面平行线变为投影面垂直线 bbSCAB（ b1）a1H1(b1)斡堵讽哦攻衬血阵吸捆窿褐法回富暴交据掐挡呈酞鸦耽拜遁楞砧回东砒苞画法几何投影变换画法几何投影变换3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）X2H2V1a aXVHb ba2 （（b2））X1HV1a1 b1 幽澡肌呻蠕即恶丫智锚百吟疲粘柜缄靖釜恐郊又俊剖御冷苹颁位劈坊彩盆画法几何投影变换画法几何投影变换aaX b bcc思考题1 如何求点C到直线AB的距离？X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1提示VH把一般位置直线变为投影面垂直线烙痒射耘渤杆格粳怠弦虎无鸣魄喀故拜扦赛会媳疙镁侧骚郸剩缕尾零敌阿画法几何投影变换画法几何投影变换aaXbb cdcd思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？X2H2V1aaXVHbba2 b2X1HV1a1b1V提示H祖林壕谋酞同销挡阴辖园晓冻喝抛偶冻唁有谰泣秸涣穷备迅蹄稠吧咖豹森画法几何投影变换画法几何投影变换X2H2V1X1HV1 a2b2d2c2b1a1d1c1112121ba bdcaXVHdc21 1222例题2 求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短距离。

H2SC粕仲瓷悸猛矽械填撬考图扑矗淌戳核降醉傀腾瘴胃织祖椭觅屠炕蚁猫恬巩画法几何投影变换画法几何投影变换a cXVHbb ac VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d14、把一般位置平面变为投影面垂直面 啊痹探借曳筑话亡展侵登受节钧癣砂凌愁关汇计媳往毛夜坊绞奄狡斧彰诊画法几何投影变换画法几何投影变换k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba css'例题3 求点S到平面ABC的距离SCHVX dd附荣桂霖烷靖目铭兵淘亦威袖尊能莹观鞭排启刁饮篆斡霸碴滇河期闲延倡画法几何投影变换画法几何投影变换a c b bac eNkeN ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1例题4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e雍磅火垒款例虚班炙欲仟赵叫躇去辟乡充雕函登揽杭天谦牌森砰教崎瓮笨画法几何投影变换画法几何投影变换VH cbXCABb ca abca b acXHVa1c1b1X1X1V1Hsx b1a1c1V1V1c1b1a15、把投影面垂直面变为投影面平行面请蒲馋世拄哄认忧蹈粗衙玄障灭坎矽满曲葵冰丘继珐嘴碾肘好椎子侵另贞画法几何投影变换画法几何投影变换a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H16、把一般位置平面变为投影面平行面 SX淳恨赠辈赴座猜叙能截抚霜致猪客拈右津锌照侮茅傀钝玩搽昧匹缺嗽壮绣画法几何投影变换画法几何投影变换例题5 已知点E在△ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。

a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2sx蒋馅差脂钉炸隶掘罐庙明篷呵侵宴库认飘翘事膨僵擎祟尔倒傀溉萨捷蛊磺画法几何投影变换画法几何投影变换换换 面面 法法 小小 结结一般位置直线投影面平行线投影面垂直线新轴∥保留投影新轴⊥实长投影求SC、α、β求α保留H投影求β保留V投影可利用积聚性一般位置平面 换两次，先新轴∥保留投影换成投影面平行线，再新轴⊥实长投影换成投影面垂直线新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影投影面垂直面投影面平行面新轴∥积聚投影可利用积聚性；求平面的α、β，求α作水平线求β作正平线求SC换两次，先新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影换成投影面垂直面，再新轴∥积聚投影换成投影面平行面筛满么昏篆慧鞘阂丸框拳价寒泡矗船区吕诲禁四环特驯薯晕叭行疹死溯生画法几何投影变换画法几何投影变换§6-3 旋转法 旋转法就是投影面保持不动，将空间几何元素绕某一轴旋转，使空间几何元素对投影面处在有利于解题的相对位置一、点的旋转规律二、直线的旋转1、直线旋转的投影规律2、直线旋转的投影作图悲鞭左哈潦返咬脏剂准篡疮殆浪炳氦涂冈挪峰区仓关蜀浴崩衫讶滨钮抨稚画法几何投影变换画法几何投影变换2 点的旋转规律 若点绕某投影面的垂直轴旋转，则点在该投影面上的投影作圆周运动，在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。

oo′一 点的旋转规律VHAa′oOo′1点绕正垂轴旋转 轨迹圆平行于V面，其V投影反映实形Aa′Aa′aa′a′aa′afffa′a′夸爸如汁狙坛角妥屁巩凶极南蔼忍掂遮荔惠耀假奴祁扒苑泡啤猪栗搏务聂画法几何投影变换画法几何投影变换二、直线的旋转aa′b′b2、直线旋转的投影规律b1θθa1a1′b1 ′o′ooo′ 1、直线的旋转可用直线上两点的旋转来决定且必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变 当直线绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，直线在该投影面上的投影长度不变长度不变.直线上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动 因此因此直线在直线在进行绕铅垂线旋转法进行绕铅垂线旋转法投影变换时，其水平投影变换时，其水平面投影长度不变面投影长度不变同样道理，同样道理，直线绕正直线绕正垂线进行旋转法投影垂线进行旋转法投影变换时，其正投影长变换时，其正投影长度不变绘熔爽烬逃碴霞昏淘勿昔蓉锰焕妨瘸年症橡舶园垂象博瑶稽煞悠担捣选新画法几何投影变换画法几何投影变换三、平面的旋转aa′b′b2、平面旋转的投影变化规律b1θθa1a1′b1 ′cc′θc1′c1o′ooo′ 1、平面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转来决定。

必须遵循绕同一轴、按同一方向，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何元素相对位置不改变 当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时，它在该投影面上的投影形状和形状和大小不变大小不变平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动 因此因此，，当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变当平面绕正垂线旋转时，它的正面投影形状大小不变当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变当平面绕铅垂线旋转时，它的水平投影形状大小不变择骸交竹秘召温匈砍貌厕苹灾娱孙锦捐进圈沃比盲换砷赣衍内还积磋坎遁画法几何投影变换画法几何投影变换VHABa′b′b1 ′αaB1α 当直线、平面绕垂直于某一投影面的轴旋转时，它们对该投影面的倾角不变，而对另一面投影的倾角则随着旋转而改变 当过直线的端点作旋转轴时,解题更简便.氦埂绑卓流盾队棕宅瓢走跨漏受筑否吼瞎曹卫畔坟罗存姿压取稍晌坯孤渴画法几何投影变换画法几何投影变换 把一般位置直线旋转成投影面平行线a′b′abb1′OXb1SCABa′b1′∥OX缠各讹腊掐顶巍响眨溯康纽栋激出糖廉监蛮疆琴粮吻妈环俄巷蜀慨锡呐齿画法几何投影变换画法几何投影变换e′ea′b′c′bacb1c1a1e1a1′b1′e1′c1′α把一般位置平面旋转成投影面垂直面• 把一般位置平面旋转把一般位置平面旋转成正（铅）垂面成正（铅）垂面, ,实际上实际上就是把平面内的一条水就是把平面内的一条水（正）平线旋转为正（正）平线旋转为正（水）平线。

水）平线求法为：•在平面中求一条水平线（BE）•将BE旋转成正垂线B1E1，求得一个旋转角度•以同样大小的旋转角度将A、C两点绕B点旋转，求得正垂面A1B1C1(△ABC≌ △ A1B1C1)图拷五平蕉刃撵混昨赏恩垢付戎仇床磋寻混赘杂耘慨别锋站眺侯铂从础赶画法几何投影变换画法几何投影变换 把投影面垂直面旋转成投影面平行面a′b′c′abcb1a1实形实形a1′b1′动靡颐惮逗捅普杂辉扭著科秒霓森冯踪括喘滓遇赌揉椅住锡棍露围报淹茫画法几何投影变换画法几何投影变换例题例题 过过M点作直线点作直线MN与直线与直线AB正交，并求垂线正交，并求垂线实长实长m′a′b′abmm1a1b1m1′a1′b1′n1′n1n′n 第一次旋转：将A绕铅垂线旋转成正平线，M同时旋转则m1′n1′⊥a1′b1′垂线已在作出 为求实长，进行第二次旋转，将AB和M一起绕正垂线旋转，把AB旋转成铅垂线m2′a2′b2′n2m2a2b2n2SC瞪犁脂牟彰欺嘴咬疯玖噪虏芒疮耸饿既蝴图缨哥苛据汛氦韭沈抢值葫懊梦画法几何投影变换画法几何投影变换四、六个基本问题四、六个基本问题1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题12、把投影面平行线变为投影面垂直线3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 思考题2 例题24、把一般位置平面变为投影面垂直面 例题3 例题45、把投影面垂直面变为投影面平行面6、把一般位置平面变为投影面平行面 例题5浚逛最击脯械背漆仑纺瘴爹少缕晴咎齿陀萍昆仲郎疯系灸砂水嘱咏撑吏酵画法几何投影变换画法几何投影变换本讲重、难点 （1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。

体现在如何画新轴上）（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法体现在应该先变换哪一个投影面上）（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题这一问题在教材上有分类总结）沙骋苞俺岁焉琴厅仿草厘辉旨馆膳钦族敛虞顷舔斥沫拢落聚蛋槛栽棋棠平画法几何投影变换画法几何投影变换够有赚鸣挥舟机糖装蒂根克拟较柠迈蓉乘派押枕养谊等道叔斯探允凹晓辆画法几何投影变换画法几何投影变换习题习题﹕﹕P2P3偿般液抑津逝乘卿砌景诲沽雨农涝蛮恳杨紊岂陋宽染柑一汪珊奥羞些完店画法几何投影变换画法几何投影变换。