2022年四边形专题经典复习原创有解答.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一讲 四边形专题复习1．平行四边形的判定和性质：性质判定①平行四边形对边平行；②平行四边形对边相等；③平行四边形对角相等；④平行四边形邻角互补；⑤平行四边形对角线相互平分．①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑥平行四边形的面积Sah（aha是a边上的高）⑤对角线相互平分的四边形．⑦平行四边形是中心对称图形,其对称中心是对角线交点留意：1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图 1,2. 拓展：同底 〔等底 〕同高 〔等高 〕的平行四边形面积相等．如图 2,3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等；2．矩形的判定和性质判定性质①矩形具备平行四边形的性质．①有一个角是直角的平行四边形是矩形． ②矩形四个角都是直角．②有三个角是直角的四边形是矩形． ③矩形两条对角线相等．③对角线相等的平行四边形是矩形．3．菱形的判定和性质④矩形是中心对称图形,又是轴对称图形,它有两条对称轴．⑤矩形面积S＝ab〔a 、b 分别表示矩形的长和宽〕 ．判定性质．①一组邻边相等的平行四边形是菱①菱形具备平行四边形的性质．②菱形四边都相等．形．③菱形两条对角线相互垂直且每条对角线平分一组对角．②四条边都相等的四边形是菱形．④菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有两条对称轴．③对角线相互垂直的平行四边形是菱⑤菱形面积Saha1l1l2（l1、l2分别表示菱形两对角线的长）形．24．正方形的判定和性质判 定 性 质①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边 ①正方形具备平行四边形性质．形是正方形． ②正方形既具备矩形特别性质,又具备菱形特别性质,即：②一组邻边相等的矩形是正方形．③一个角是直角的菱形是正方形．④对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方四边都相等；四个角都是直角；两条对角线相互垂直平分且 相等,每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有 4 条对称轴．③面积 S＝a 2 （a 表示正方形． 形的边长）．5．梯形的判定和性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类别判定学习必备欢迎下载性质①梯形一组对边平行而另一组对边不平行．梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半．③梯形面积S1（2a＋b）hmh（a、b是 梯 形 的 上 下形是梯形底, h 是高, m是中位线）．①等腰梯形具有一般梯形的性质．等腰①两腰相等的梯形是等腰梯形．②等腰梯形两腰相等．②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形．③等腰梯形同一底上两角相等．梯形③对角线相等的梯形是等腰梯形．④等腰梯形对角线相等．⑤等腰梯形是轴对称图形．直角有一个角是直角的梯形是直角梯形．①直角梯形具有一般梯形的性质．梯形②直角梯形的一腰垂直于底边．6．梯形中的常用帮助线：7. 平行线等分线段定理（1）假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上所截得的线段也相等．（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．8．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．典型例题：例 1. 如图, ABCD中, AE=CF,AE与 CF交于点 O,连结 BO．求证：∠ AOB=∠ COB．解：作 BM ⊥CF 于 M ,BN⊥AE 于 N,连接 BE、BF；依据 和 AE=CF ,可证 BN=BM ,于是∠ AOB= ∠COB ．例 2. 如图：工人师傅要把一块三角形的钢板,通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线,然后证明你的结论．名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：如图,分别取边学习必备欢迎下载ADE 的边 AE 与边 EC 重合 〔点 A 与点 C 重AB、AC 的中点 D、E,沿线段 DE 切割开,将△合、点 E 与点 E 重合 〕后焊接,点D 至点 F 处,就所得四边形DBCF 为平行四边形．证明略．例 3. 已知：平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点 O,BD=2AD,E,F,G分别是 OC, OD,AB的中点．求证：〔1〕BE ⊥AC； 〔2〕EG=EF ；证明： 〔1〕∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD=BC ,BD=2BO ．由已知 BD=2AD ,∴ BO=BC ,又 E 是 OC 中点,∴ BE⊥AC ．〔2〕由〔1〕BE ⊥AC ,又 G 是 AB 中点,∴∵ EF 是△ OCD 的中位线,∴又,∴例 4．如图, ABCD为等腰梯形, AB∥ CD,对角线 AC,BD交于 O,且∠ AOB=60° ,又 E,F,G分别为 DO,AO,BC的中点．求证：△EFG是等边三角形；证明：连接EC ．∵ABCD 为等腰梯形,∴AD=BC ,且 AC=BD ．又∵DC=DC ,∴△ ADC ≌△ BCD ,∠ ACD= ∠BDC ,∴ △ ODC 为等腰三角形．∵ ∠DOC= ∠AOB=60 ° , ∴ △ ODC 为等边三角形．又∵ E 为 OD 中点, ∴ ∠OEC=90 ° ．在 Rt△ BEC 中, G 为斜边的中点, ∴ ；同理 ．在△ OAD 中,∵ E,F 分别为 OD ,OA 的中点．∴ ,故△ EFG 为等边三角形．例 5．已知,如图,正方形 ABCD的边长为 6,菱形 EFGH的三个顶点 E,G,H分别在正方形 ABCD边 AB,CD,DA上,AH=2,连接 CF． 〔1〕 当 DG=2时,求△ FCG的面积； 〔2〕 设 DG=x,用含 x 的代数式表示△ FCG的面积； 〔3〕 判定△ FCG的面积能否等于 1,并说明理由．名师归纳总结 第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解： 〔1〕∵ 正方形 ABCD 中, AH=2 ,∴ DH=4 ．又 DG=2 ,因此 HG= ,即菱形 EFGH 的边长为 ．在△ AHE 和△ DGH 中,∠ A= ∠D=90 ° , AH=DG=2 ,EH=HG= ,∴ △ AHE ≌△ DGH ；∴ ∠AHE= ∠DGH ；∵ ∠ DGH+ ∠DHG=90 ° ,∴ ∠ DHG+ ∠AHE=90 ° ,∴ ∠ GHC=90 ° ,即菱形 EFGH 是正方形．同理可以证明△ DGH ≌△ CFG ．因此∠ FCG=90 ° ,即点 F 在 BC 边上,同时可得 CF=2 ,从而〔2〕作 FM ⊥DC , M 为垂足,连结 GE ,∵ AB∥ CD ,∴ ∠AEG= ∠ MGE , ∵ HE ∥ GF,∴ ∠HEG= ∠ FGE ；∴ ∠AEH= ∠MGF ； 在△ AHE 和△ MFG 中,∠ A= ∠M=90 ° , HE=FG ,∴ △ AHE ≌△ MFG ；∴ FM=HA=2 ,即无论菱形EFGH 如何变化,点F 到直线 CD 的距离始终为定值2；因此〔3〕如,由,得,此时,在△DGH 中,；；B 时,相应地,在△AHE 中,,即点 E 已经不在边AB 上；故不行能有另法：由于点G 在边 DC 上,因此菱形的边长至少为DH=4 ,当菱形的边长为4 时,点 E 在 AB 边上且满意,此时,当点E 逐步向右运动至点HE 的长 〔即菱形的边长〕将逐步变大,最大值为；此时,,故；而函数的值随着的增大而减小,因此,当时,取得最小值为；又由于,所以△FCG 的面积不行能等于1；巩固练习：1、把正方形 ABCD 围着点 A ,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ,边 FG 与 BC 交于点 H （如图）．试问线段HG 与线段 HB 相等吗？请先观看猜想,然后再证明你的猜想．D G C H A B F E 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、四边形 ABCD、DEFG都是正方形,连接学习必备欢迎下载AE与 CG之间的位置AE、 CG．（ 1）求证： AE=CG；（ 2）观看图形,猜想关系,并证明你的猜想．3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与 A重合,点 D落到 D′处,折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△ AD′F；（2）连接 CF,判定四边形AECF是什么特别四边形？证明你的结论．A D′D F B E C 挑战自我：1、 〔2022年眉山市 〕 ．如图,每个小正方形的边长为1,A、B、 C是小正方形的顶点,就∠ABC的度数为（）A．90° B．60° C．45° D．30°）2、（2022 福建龙岩中考）以下图形中,单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形3．（2022 年北京顺义）如一个正多边形的一个内角是 120° ,就这个正多边形的边数是（ ）A．9 B ．8 C ．6 D ．4 4、（2022 年福建福州中考）如图 4,在 □ ABCD中,对角线 AC、BD相交于点 O,如 AC=14,BD=8,AB=10,就△ OAB的周长为 ；5、（2022 年宁德市）如图,在 □ ABCD中, AE＝EB,AF＝2,就 FC等于 _____．E6、 〔2022A D C F ADE B 6 题BCF年滨州 〕 如图 , 平行四边形第 5 题图ABCD中, ∠ABC=60° ,E 、F 分别在 CD、BC的延长线上 ,AE∥ BD,EF⊥BC,DF=2,就 EF的长为7、 〔2022年福建晋江 〕 如图,请在以下四个关系中,选出两个恰当．．．．的关系作为条件,B 。