第三章DFT的定义式推导.docx
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N点长的x(n)的DTFT为X(ej)续谱若以x（n）ejn，是以2为周期的连n02/N为间隔在一个周期内抽样N点，得到周期离散谱为:~X(K)X(ej)*K对应的时域信号是将x（n）以N为周期进行周期延拓，即周期为N的离散时间信号的频谱为同周期的离散谱若将式（1）限定在一个周期内时,X(K)X(ej)[0,N1]1j-knx(n)eN01x(n)W：n0令Wn(2)n式（2）为DFT的正变换，记为X(K)DFT[x(n)]F面由式（2）推导IDFT:j—kr将式（2）两边同乘以eNN1j^krX(k)eNk0N1NNx(n)[-n0NkN1N1[x(n)ek0n01e0[QN1,并当K[0,N1]时求和,22j——knj——krN]eN2j—k(rn)N](3)N1j咨n.2j一rj—r22jJ(N1)乂eN1eNeNeNn0jrN1eNN当rmNm0,1,2jr0else1eN所以，针对(3)式仅有nr时为非0项，即jkrX(k)eNNx(r)k0x(r)1NNkj2krX(k)eN0通常习惯表示为x(n)—X(k)e、knn[0,N1](4)Nk0记为x(n)IDFT[X(K)]综合(2)、(4)为N1X(K)x(n)WNknDFT[x(n)]K[0,N1]n01N1j2knx(n)X(k)eNIDFT[X(K)]n[0,N1]Nk0它们只是周期序列的一个周期，当考虑整个周期序列时，则为DFS为N1文(K)~(n)WN
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