工程数学线性代数第一章同济第五版ppt课件.ppt

用消元法解二元用消元法解二元线性方程性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入方程方程组的解的解为由方程由方程组的四个系数确定的四个系数确定. 由四个数排成二行二列〔横排称行、由四个数排成二行二列〔横排称行、竖排排称列〕的数表称列〕的数表定定定定义义即即主对角线主对角线副对角线副对角线对角角线法那么法那么二阶行列式的计算二阶行列式的计算假假设记对于二元于二元线性方程性方程组系数行列式系数行列式那么二元线性方程组的解为那么二元线性方程组的解为留意留意 分母都分母都为原方程原方程组的系数行列式的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定定定定义义记记〔〔6 6〕式称〕式称为数表〔数表〔5 5〕所确定的三〕所确定的三阶行列式行列式. .(1)(1)沙路法沙路法三三阶行列式的行列式的计算算. .列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对对角角角角线线法那么法那么法那么法那么留意留意 红线上三元素的乘上三元素的乘积冠以正号，冠以正号，蓝线上三上三元素的乘元素的乘积冠以冠以负号．号．阐明明1 对角角线法那么只适用于二法那么只适用于二阶与三与三阶行列式．行列式． 假假设三元三元线性方程性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三利用三阶行列式求解三元行列式求解三元线性方程性方程组 2. 2. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .假假设记或或记记即即得得得得那么三元那么三元线性方程性方程组的解的解为:例２例２例２例２ 解解解解按按对角角线法那么，法那么，有有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程由于方程组的系数行列式的系数行列式同理可得同理可得故方程故方程组的解的解为: 二二阶和三和三阶行列式是由解二元和三元行列式是由解二元和三元线性方性方程程组引入的引入的.对角线法那么对角线法那么二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结三、小结思索思索题思索思索题解答解答解解设所求的二次多所求的二次多项式式为由由题意得意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得故所求多项式为故所求多项式为一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、、2、、3三个数字，可以三个数字，可以组成多少个没成多少个没有反复数字的三位数？有反复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有二、全陈列及其逆序数二、全陈列及其逆序数问题定定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全陈列〔或陈列〕元素的全陈列〔或陈列〕. 个不同的元素的一切陈列的种数，通常个不同的元素的一切陈列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 在一个陈列在一个陈列 中，假设中，假设数数 那么称这两个数组成一个逆序那么称这两个数组成一个逆序.例如例如 陈列列32514 中，中， 定定义 我我们规定各元素之定各元素之间有一个有一个规范次序范次序, n 个个不同的自然数，不同的自然数，规定由小到大定由小到大为规范次序范次序.陈列的逆序数陈列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个陈列中一切逆序的总数称为此陈列的一个陈列中一切逆序的总数称为此陈列的逆序数逆序数.例如例如 陈列列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数逆序数为31故此故此陈列的逆序数列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算算陈列逆序数的方法列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求陈列的逆序数陈列的逆序数.逆序数逆序数为奇数的奇数的陈列称列称为奇奇陈列列;逆序数逆序数为偶数的偶数的陈列称列称为偶偶陈列列.陈列的奇偶性陈列的奇偶性分分别计算出算出陈列中每个元素前面比它大的数列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出个数之和，即算出陈列中每个元素的逆序数，列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之每个元素的逆序数之总和即和即为所求所求陈列的逆列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求求陈列列3251432514的逆序数的逆序数. .解解在在陈列列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只需一个大的数只需一个3,故逆序数故逆序数为1;3 2 5 1 4于是于是陈列列32514的逆序数的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数故逆序数为1;例例2 2 计算以下陈列的逆序数，并讨论它们的计算以下陈列的逆序数，并讨论它们的奇偶性奇偶性. .解解此此陈列列为偶偶陈列列.解解当当 时为偶陈列；时为偶陈列；当当 时为奇陈列时为奇陈列.解解当当 为偶数时，陈列为偶陈列，为偶数时，陈列为偶陈列，当当 为奇数时，陈列为奇陈列为奇数时，陈列为奇陈列.2 2 陈列具有奇偶性列具有奇偶性. .3 计算算陈列逆序数常用的方法有列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的一切陈列种数为个不同的元素的一切陈列种数为三、小结三、小结思索思索题分别用两种方法求陈列分别用两种方法求陈列16352487的逆序数的逆序数.思索题解答思索题解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 2由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.一、概念的引入一、概念的引入三三阶行列式行列式阐明明〔〔1〕三阶行列式共有〕三阶行列式共有 项，即项，即 项．项．〔〔2〕每〕每项都是位于不同行不同列的三个元素的都是位于不同行不同列的三个元素的乘乘积．．〔〔3〕每项的正负号都取决于位于不同行不同列〕每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标陈列．的三个元素的下标陈列．例如例如列列标陈列的逆序数列的逆序数为列列标陈列的逆序数列的逆序数为偶偶陈列列奇奇陈列列二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定定义阐明阐明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数一程个数和未知量个数一样的一次方程的一次方程组的需求而的需求而定定义的的;2、、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、、 的符号为的符号为例例1 1　计算对角行列式　计算对角行列式分析分析展开式中展开式中项的普通方式是的普通方式是从而从而这个个项为零，零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上三角行列式算上三角行列式分析分析展开式中展开式中项的普通方式是的普通方式是所以不所以不为零的零的项只需只需解解例例3同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式例例4 4 证明对角行列式证明对角行列式证明证明第一式是第一式是显然的然的,下面下面证第二式第二式.假假设记那么依行列式定那么依行列式定义证毕例例5 5设设证明证明证由行列式定由行列式定义有有由于由于 所以所以故故1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数一方程个数和未知量个数一样的一次方程的一次方程组的需的需求而定求而定义的的.2、、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标陈正负号由下标陈列的逆序数决议列的逆序数决议.三、小结三、小结思索思索题知知思索题解答思索题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于于一、对换的定义一、对换的定义定定义在在陈列中，将恣意两个元素列中，将恣意两个元素对调，其他，其他元素不元素不动，，这种作出新种作出新陈列的手列的手续叫做叫做对换．．将相将相邻两个元素两个元素对调，叫做相，叫做相邻对换．．例如例如二、对换与陈列的奇偶性的关系二、对换与陈列的奇偶性的关系定理定理1 1　一个　一个陈列中的恣意两个元素列中的恣意两个元素对换，，陈列列改改动奇偶性．奇偶性．证明明设陈列列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改动外，其它元素的逆序数不改动.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数添加的逆序数添加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ，， 的逆序数减少的逆序数减少1.因此因此对换相相邻两个元素，两个元素，陈列改列改动奇偶性奇偶性.设陈列列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个所以一个陈列中的恣意两个元素列中的恣意两个元素对换，，陈列改列改动奇偶性奇偶性.推论推论奇陈列调成规范陈列的对换次数为奇数，奇陈列调成规范陈列的对换次数为奇数，偶陈列调成规范陈列的对换次数为偶数偶陈列调成规范陈列的对换次数为偶数. .定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标陈列为行标陈列 的逆序数的逆序数. .证明明 由定理1知对换的次数就是陈列奇偶性的变化次数, 而而规范范陈列是偶列是偶陈列列(逆序数逆序数为0),因此因此知推知推论成立成立.证明明按行列式定按行列式定义有有记对于于D中恣意一中恣意一项总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项与之与之对应并相等并相等;反之反之, 对于对于 中恣意一项中恣意一项也也总有且有且仅有有D中的某一中的某一项与之与之对应并相等并相等, 于是于是D与与中的中的项可以一一可以一一对应并相等并相等,从而从而定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级陈列，级陈列， 为行为行标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和. .例例1 1 试判别试判别 和和能否都是六阶行列式中的项能否都是六阶行列式中的项.解解下下标的逆序数的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.下下标的逆序数的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 2 在六阶行列式中，以下两项各应带什么符号在六阶行列式中，以下两项各应带什么符号. .解解431265的逆序数的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.行行标陈列列341562的逆序数的逆序数为列列标陈列列234165的逆序数的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解 1. 1. 一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改一个陈列中的恣意两个元素对换，陈列改变奇偶性．变奇偶性．2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结其中其中 是两个是两个 级陈列，级陈列， 为行为行标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和标陈列逆序数与列标陈列逆序数的和. .思索题思索题证明证明 在全部在全部 阶陈列中阶陈列中 , ,奇偶陈列各占奇偶陈列各占一半一半. . 思索题解答思索题解答证证 设在全部设在全部 阶陈列中有阶陈列中有 个奇陈列个奇陈列, , 个偶个偶陈列陈列, ,现来证现来证 . . 将将 个奇陈列的前两个数对换个奇陈列的前两个数对换, ,那么这那么这 个奇个奇陈列全变成偶陈列陈列全变成偶陈列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,所以所以假设将假设将 个偶陈列的前两个数对换个偶陈列的前两个数对换, ,那么这那么这 个偶陈列个偶陈列全变成奇陈列全变成奇陈列, ,并且它们彼此不同并且它们彼此不同, ,于是有于是有故必有故必有一、行列式的性质一、行列式的性质性性性性质质1 1 1 1 行列式与它的行列式与它的行列式与它的行列式与它的转转置行列式相等置行列式相等置行列式相等置行列式相等. . . .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记证明证明按定按定义 又由于行列式又由于行列式D可表示可表示为故故证毕性性性性质质2 2 2 2 互互互互换换行列式的两行〔列〕行列式的两行〔列〕行列式的两行〔列〕行列式的两行〔列〕, , , ,行列式行列式行列式行列式变变号号号号. . . .证证明明明明设行列式行列式阐明明 行列式中行与列具有同等的位置行列式中行与列具有同等的位置,因此行列因此行列式的性式的性质凡是凡是对行成立的行成立的对列也同列也同样成立成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,于是于是那么有那么有即当即当 时时,当当 时时,例如例如推推论 假假设行列式有两行〔列〕完全一行列式有两行〔列〕完全一样，那，那么此行列式么此行列式为零零. .证明明互互换一一样的两行，有的两行，有 故故证毕性性性性质质3 3 3 3 行列式的某一行〔列〕中一切的元素都行列式的某一行〔列〕中一切的元素都行列式的某一行〔列〕中一切的元素都行列式的某一行〔列〕中一切的元素都乘以同一数乘以同一数乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式乘此行列式乘此行列式. . . .推推推推论论　行列式的某一行〔列〕中一切元素的公因　行列式的某一行〔列〕中一切元素的公因　行列式的某一行〔列〕中一切元素的公因　行列式的某一行〔列〕中一切元素的公因子可以提到行列式符号的外面．子可以提到行列式符号的外面．子可以提到行列式符号的外面．子可以提到行列式符号的外面．性质４　行列式中假设有两行〔列〕元素成比性质４　行列式中假设有两行〔列〕元素成比例，那么此行列式为零．例，那么此行列式为零．证明明性质性质5 5　假设行列式的某一列〔行〕的元素都是　假设行列式的某一列〔行〕的元素都是两数之和两数之和. .那么那么D等于以下两个行列式之和：等于以下两个行列式之和：例如例如性质６　把行列式的某一列〔行〕的各元素乘以性质６　把行列式的某一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变．列式不变．例如例如例１例１二、运用举例二、运用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．解解例例2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得例例3 3证明证明证明证明 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的位置的位置,行列式的性行列式的性质凡是凡是对行成立的行成立的对列也同列也同样成立成立). 计算行列式常用方法：算行列式常用方法：(1)利用定利用定义;(2)利用利用性性质把行列式化把行列式化为上三角形行列式，从而算得行上三角形行列式，从而算得行列式的列式的值．．三、小结三、小结行列式的行列式的6个性个性质思索题思索题思索题解答思索题解答解解例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作叫做元素叫做元素 的代数余子式．的代数余子式．例如例如引理引理 一个一个 阶行列式，假设其中第阶行列式，假设其中第 行一切行一切元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ．．例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而再再证普通情形普通情形,此此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理３定理３ 行列式等于它的任一行〔列〕的各元行列式等于它的任一行〔列〕的各元素与其素与其对应的代数余子式乘的代数余子式乘积之和，即之和，即证二、行列式按行〔列〕展开法那么二、行列式按行〔列〕展开法那么例例1 证用数学用数学归纳法法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理同理一样一样关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例３例３ 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得例４例４ 计算行列式计算行列式解解 1. 行列式按行〔列〕展开法那么是把高行列式按行〔列〕展开法那么是把高阶行行列式的列式的计算化算化为低低阶行列式行列式计算的重要工具算的重要工具. 三、小结三、小结思索题思索题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和思索题解答思索题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成设线性方程性方程组那么称此方程那么称此方程组为非非 齐次次线性方程性方程组;此此时称方程称方程组为齐次次线性方程性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法那么一、克拉默法那么假假设线性方程性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项替代后所得到的组右端的常数项替代后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是独一的，解有解，并且解是独一的，解可以表为可以表为证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得由代数余子式的性由代数余子式的性质可知可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有独一的一个解有独一的一个解由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解.二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 假设线性方程组假设线性方程组 的系数行列式的系数行列式 那么那么 一定有解一定有解, ,且解是独一的且解是独一的 . .定理定理2 2 假设线性方程组假设线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式必为零解，那么它的系数行列式必为零. .齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理　定理　 假设齐次线性方程组假设齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 那么齐次线性方程组那么齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. .定理　定理　 假设齐次线性方程组假设齐次线性方程组 有非零解有非零解, ,那么它那么它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式例例1 用克拉默那么解方程组用克拉默那么解方程组解解例例2 2 用克拉默法那么解方程组用克拉默法那么解方程组解解例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解齐次方程组有非零解，那么齐次方程组有非零解，那么所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.1. 1. 用克拉默法那么解方程用克拉默法那么解方程组的两个条件的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法那么建立了克拉默法那么建立了线性方程性方程组的解和知的系的解和知的系数与常数数与常数项之之间的关系的关系. .它主要适用于它主要适用于实际推推导. .三、小结三、小结思索题思索题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法那么解方程组法那么解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思索题解答思索题解答不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.。