《圆锥曲线新题型与定点问题分析》.docx

高三冲刺讲义：《圆锥曲线新题型及定点问题分析》圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题；在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题圆锥曲线中的几何虽，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何虽的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题在几何问题中，有些几何虽与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点问题的学习，通常有两种处理方法：① 从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变虽无关.② 直接推理、计算，并在计算中消去变虽，从而得到定点(定值).而第二个方法乂是我们深入且归纳的重点方法，其中乂包括：3、通过韦达定理化简;1、通过定义代入化简；2、通过平面几何知识或三角知识代入；下面我们就来介绍这些题型：题型一：通过代入化简得定值22xyF1、F为椭圆的左右焦点;2已知(,)上的一点，其中Px°y为椭圆1022abcc求证:=；++PEx0,PF咨0。

—aa证明:2bcc222222PR(xc)yx2cxcbxaxax00000002aaa一一c同理侍证：PF1axa题型二：通过平面几何知识化简得到22xy43例2：已知椭圆E的方程为，右焦点为F,直线l与圆且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点(1)若直线l的倾斜角为，求直线l的方程;4(2)求证:|AF||AQ||BF||BQ|.A(x,y),B(x,y).1122提示：用代入法转化AF,y3x14AQ=、2r_+,OA从而化简出AFA眼一个常值解］(1)设直线l的方程为yxm，如有|m|_一二J3,得m6二2乂切点Q在y轴的右侧，所以m6所以直线l的方程为yx6(2)因为AOQ为直角三角形，所以i1|AQ|OAOQxy31122xy1111+得1=|AF|2x22乂xy1111得1|AQ|x432=J一+22|AF|(x1)y乂11432所以|AF||AQ|2,同理可得|BF||BQ|2所以|AF||AQ||BF||BQ|题型三：通过定义化简得到：r,=ACBD是过抛例3:某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”，其中匕=aot物线焦点F的两条弦，且其^F(0,1),ACBD0点E为y轴上一点，记EFA,其中为锐角.求抛物线方程;(2)求证：AF.2(cos1)a+2asin(3)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小?第⑶2(cos1)2(1sin)I可提小：AF,DF2;.2sincos想想BF和DF哽参加他们也可殳写出专之后面积问题就转化为三角求最值问题了。

解析：(1)由抛物线焦点F(0,1)得，抛物线方程为x4y(2)设AFm则点A(msin,mcos1)2m2m2所以，(msin)4(1cos)，既msin4cos40解得AF;2(cos1)2sin(3)同理:BF,_a2(1sin)a2cos=ADF,2(1sin)a2cosCF—a2(1)cos2a“蝴蝶形图案”&11十tsincos,t02t1t111则S441,22tt2t的面积SSAfBScfd1AF2BFCF2DF44(sinsinsincos2)cos7“蝴蝶形图案”的面积为题型四：通过韦达化简得到例4、已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，且经过M(2,1)、N(22,0)两--k点，P是E上的动点.1)求OP的最大值；7(2)若平行于OM勺直线l在y轴上的截距为b(b0)，直线l交椭圆E于两个不同点A、B,求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补.［解］(1)设椭圆E的方程为221(0,0,)mxnymnmn4mn1将M(2,1),N(22,0)代入椭圆E的方程，得,,,2分毓徂11解侍m,n，所以椭圆E的方程为8222xy82设点P的坐标为0,0)222OPxy.8m11,,,,2分xy(,则00又P&扁0)是E上的动点，所以22xy001/曰22,侍x084y0,代入上式得2222OPxy°83y0,y°2,21k,所以直线l的方程为OM2故y00时，OP22.OP的最大值为22.max(2)因为直线l平行于OM且在y轴上的截距为b,乂1yxb.21yxb222xy82222240xbxb、B(x2,y2)xx22b,x祝2的4.rz!,k2x2k1y2x1y1y1kk^_11*y212(y1)(x2)(y1)(x2)1221x2x2121111一一令yxb,yxb，所以上式分子(x〔b1)(x22)(x2b1)(x〔2)乂112222222x1*(b2)(x1x)4(b1)b4b(2)(t2)b4(故kl)k200.所以直线MA与直线MB的倾斜角互补.题型五、通过类比结论得到例5:椭魁T的中心为坐标原点O,右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2,2).解:所以解得若ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为(1)求椭嗣T的方程;(2)设ABC的三条边所在直线的斜率分别为若直线OMONOP的斜率之和为0,求证:22(1)设椭圆T的方程为x*1二〜—七ab2a|EF||EF|232,=a22,b2.故椭圆T的方程为(方法2、待定系数法)(2)设瞥叭与期，C(x，y)+吊22-22x2y18,x22y28,两式相减，得至4(xx)(xx)2(yy)(yy)0yy1xx1s12121xx2yy2t12121ki、k、MN、P.k,且ki0,i1,2,3.23111,M(s1,tkkk123,由题意知：左焦点为(2,0)F所以k122xy841),N(S2,t2),P(s，即11ks113,t3),同理1t所以ks22111tttks331232(),乂因为直线OM,ON,OP的斜率之和为0,1t=2-=322kkksss所以123123111kkk123方法2、(虾参照方法+1给允)设直线AB:-yt*(x$),代入椭圆2228=xy厂得至J222(12k)x4(tks)kx2(tks)80111111114(响1ixx1222s,化简得112k11s1(以下略)2t1题型六：其他综合问题2(p0),直线交此抛物线于不同的两个点(,)例6:已知抛物线C：y2px1yAx、B(x2,y2)(1)当直线过点M(p,0)时证明y〔y为定值;2(2)当y〔yp时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说2明理由;(3)如果直线l过点M币,0)，过点M再作-条与直G垂直的直线l交抛物线C亍两个不同点DE5AB的中点为Pm嫩DE的中点为Q,记线段PQ的中点为N.问+y的右焦点F,:与椭圆相交于A、B两点(1) 若点A在x轴的上方，且|OA||OF|,求直线l的方程；(2) 若k0,P(6,0)且^PAB的面积为6,求k的值；OxF当k(k0)变化时，是否存在一点C(x,0),使得直线AC和BC的0斜率之和为0,若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由0答案：(1)xy3『；T2)=k1;(3)存在J点(6,0)Px相切，其中2…三………rP0.设圆心C的轨迹的万程P例8:动圆C过定点,0F且-与直线2为F(x,y)0.求F(xy)0(2)独线上的一定点px0,y0(y侦)方向向量d(y°,p)的直线l(不过点P)与由线交于A、B两点，设肥PAPB斜率分别为kPA、k计算kk；PBPAPB(3)曲线上的两个定点P(x0,y。

)、p线PM、02pxp答案：(1)y2Pj''Q(x0,y)分别过点P、Q做倾斜角互补的两条直QN分别与曲线』于M,NH点，求证直线MN的斜率为定值.(2)kAPkBP=噬xxxx1020y1y022y1yy22y2y02y0y1py02P((yi(3)y0)=0.y°)2p2p2p2p2pyiy22y洲02kMNy0y0例:9:已知椭圆C的方程为22xy〔(a0),其焦点在x轴上，点Qa2=+为椭圆上(1)求该椭圆的标准方程;仍ON(2)设动点P(x0,y0)满足OPOM2Q泄中MN是椭圆C上的点，直线122的斜率N积为2，求证：X02y为定值;(3)在(2)的条件下探究：是否存在两个定点A,B，使得PAPB为定值？若存在,给出证明；若不存茬t请说明理由.2y2x答案：(1)122；(2)422222(xi2y)4(x2y)4xx8yy204(xiX22yiy2)122121220(定值)(3)存在点A(10,0)、B(10,0),^|PA||PB|=45(定值)例10:设抛物线2二：C:y2px(p0)的焦点为F,经过点F的动直线l交抛物线C于点A(x,y),B(x2,y2)且v泌•11(1)求抛物冬c的万程;—-(2)若OE2(OAOB)(O为坐标原点)，且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角;(3)若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF,MA,MB勺斜率分别为k0,k1,k2.求+证：当k为定值时，k1k2也为定值.0答案：(1)24=一=(~2^直线l的倾斜角为arctan2或兀arctan2.(3)k0VMm，可得y^k。

xM12由(2)知y1y24a,乂y〔y24ty2ky2ky2ky2k10201020x1x1ay2ay21212+十2ayy»2(y)邺2咽部4228a8ka8a8k8k(a1)0002224a8a44(a1)所以kk也为定值.12•••kk122k°,乂k/定值,例11:已知双曲线C的中心在原点,D1,0是它的一个顶点，d(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向虽.(1)求双曲线C的方定⑵若过点(3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点(A,B都不同于点D),r=>>r求证：DADB^J定值；22⑶对于双曲线：xy,E为它的右顶点，M,N为双曲线ab，，上的两点(都不同于点E),且EMEN那么直线MN^否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结22论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线旦——-221（a0,b0,ab）ab它的左顶点；情形二：抛物线22（0）ypxp及它的顶点；22及它的顶点中，若E为它的左顶点,M,N为情形三：椭圆xy221（ab0）ab2一一答案：（i）y21x;（2）DADB=（fe定值；(3)MN^定点(a(ab^_。