中学数学试题赏析.pdf

好题精彩缤纷现 ? 倩影亮丽今又来? ? ? 湖北高考数学解析几何命题中挥不去的向量情结432200? 武汉市黄陂一中 ? 翁华木?? 研究高考试题, 有这样一种感觉: 一道好题, 总能引起我们思想的共鸣. 2010年湖北高考卷理科第 19题 (文科第 20题 ), 初读, 有好题重现, 精彩缤纷的念头闪现心中, 让人感悟到湖北高考数学解析几何的命题中有一种挥不去的向量情结. 再读, 有形式平朴, 内蕴厚重的思考给人启示, 命题不仅体现了数学的本质, 突出了选拔的功能, 更是为湖北省正在实施的高中新课程改革提供了导航的方向.1? 初见倩影我们首先来赏析 2010年湖北卷的理科第 19题 (文科第 20题 ):已知一条曲线 C在 y轴右边, C上每一点到点 F( 1,0)的距离减去它到 y轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C的方程;(2)是否存在正数 m, 对于过点 M (m, 0)且与曲线 C有两个交点 A, B 的任一直线, 都有 FA FB 0.设 A (x1, y1), B(x2, y2), 则y1+ y2= 4t,y1y2= - 4m?!又FA= (x1- 1 , y1), FB= (x2- 1 , y2),即FA FB 0)的形式已经多次呈现; 综观湖北省自2004年以来的自主命题, 解析几何题中利用向量数量积的求解方法并不陌生, 今年只不过是从后台走向了前台, 完成了历史性的转折.曾相识之一: 命题思路的相似先看 2006年湖北理科第 20题:设 A, B分别为椭圆x2a2+y2b2= 1(a> b> 0)的左、 右顶点, 椭圆长半轴的长等于焦距, 且 x= 4为它的右准线.(1)求椭圆的方程;(2)设 P为右准线上不同于点 ( 4, 0)的任意一点,1试题赏析 ???????( 2010年第 8期 高中版 )若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B的点 M, N,证明点 B在以 MN 为直径的圆内.对于第 (2)问, 我们不难看出命题者的思路: 要证明点 B在以 MN 为直径的圆内, 即 % MBN 为钝角, 只需证明BM BN 0. 其命题思路惊人地相似, 或者说今年的这道高考试题, 实际上是 2006年那道高考试题的推陈出新.曾相识之二: 解题方法的相似再看 2009年湖北理科第 20题:过抛 物 线 y2= 2px ( p > 0) 的 对 称 轴上 一 点 Aa, 0 (a> 0)的直线与抛物线相交于 M, N 两点, 自M,N向直线 l: x= - a作垂线, 垂足分别为 M1,N1.(1)当 a=p 2时, 求证: AM1 (2) (略 ).证明 AM1(2)是否存在实数 k, 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F? 若存在, 求出 k的值; 若不存在, 说明理由.以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F,其向量的数学意义, 还是FA FB= 0.3? 花开并蒂我们在搜寻这种命题方式和解析方法的过程中, 惊喜的发现 2010年的各省市考卷中有一道与本题解题方法相似的考题, 即 2010年浙江卷的理科第 20题:图 1已知 m > 1, 直线 l : x - my -m22= 0 , 椭圆 C:x2m2+ y2= 1, F1, F2分别为椭圆 C的左、 右焦点.(1)当直线 l过右焦点 F2时,求直线 l的方程;(2)设直线 l与椭 圆 C 交于 A, B 两点, ∋ AF1F2,∋BF1F2的重心分别为 G, H. 若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内, 求实数 m的取值范围.解析 ?(1)直线 l的方程为 x-2y- 1= 0.(2)由x=my+m22,x2m2+ y2= 1 ,消去 x,得 2y2+my+m24- 1= 0 .(*)由 ? = m2- 8(m24- 1) = -m2+ 8> 0, 知 m21, 且 m2 b 是 ? a2> b2的充分条件;(? a b 是? a2> b2 的充分条件( 源于课本第一册 (上 )习题 1. 8第 2题第 (3)小题:从 ? 充分而不必要条件 、? 必要而不充分条件 与? 充要条件 中选出适当的一种填空: ? x b> 0)的离心率为2 2. 以该椭圆上的 点和 椭 圆 的左 右 焦 点 F1, F2为顶点的三角形的 周长为 42+ 1. 一等轴双 曲 线的顶点是该椭圆的焦点, 设P为该双曲线上异于顶点的任一点. 直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A, B和 C, D (1)求椭圆和双曲线的标准方程.(2)设直线 PF1和 PF2的斜率分别为 k1, k2. 证明:k1?k2= 1. (3)是否存在常数 ? , 使得 AB +CD = ?AB ?CD 恒成立? 若存在, 求 ? 的值; 若不存在, 请说明理由. 4? 应对策略4? 1? 教师应改变对教材结构的认识大多数中学数学老师对高中数学新课标的课程内 容的认识存在不少困惑和分歧. 有的教师认为新课标的课程内容贴近社会, 贴近生活, 为学生打下了比较全面的基础; 有的教师认为新课标的课程内容采用螺旋式安 排, 体现了合情推理与演绎推理的有机结合, 利于学生的整体发展, 有助于学生的数学思维能力的培养与提高. 如立体几何, 函数, 统计与概率等内容采用螺旋式安 排, 这种课程结构本身也是有利于基础的, 因为核心知识需要不断提升和发展. 又如必修 2模块中 立体几何 !的安排遵循了 整体 # 局部 # 整体 ! 的原则, 实际上整体 与局部是一个有机的整体, 没有对整体的把握, 也就无法认识局部; 同样, 如果没有对局部更细致的认识, 我们无法更好地把握整体. 有的教师认为新课标的课程内容 采用螺旋式安排, 这样教材系统性差, 增加了教学成本;数学内容不是 ∗f (x) = 10- x+ 2, g (x) =2x- 3 x;+f (x) =x2+ 1x, g (x) =x lnx+ 1 lnx;,f (x) =2x2x+ 1, g (x) = 2(x- 1- e- x).4? 2? 教师应合理把握新课程内容的深广度 目前在执行新课程标准的过程中, 对新课程内容深广度的把握不够准确, 特别是对传统内容深广度的把握不够准确, 这是摆在每一个高中数学教师面前的一个问题. 教师应转变对传统课程内容深广度的认识, 对教材的处理及选例应与时俱进, 吻合新课程标准. 新课程内容深广度的把握是由课程标准决定? 是由考试大纲或考试说明决定? 是由命题组专家的个人意志决定? 还 是某专业团队对新课标的认识决定? 从我国的高中数学教学实践层面来看, 课程内容的深广度是由整个课程标准的实施逐渐生成. 由此看来, 新课程高考试行较早的省份的成功经验是我们研究的主要内容之一, 也是目前了解的重要途径之一.4? 3? 教师应重视数学高考命题的研究 教师研究高考, 关键研究高考命题的方向及试题命制技术. 研究高考命题的方向包括:(1)新课程标准各知识点的考试要求, 能力要求;(2)试题的命题背景及其考查功能, 命题人员的思维轨迹;(3)如何在课堂教学、 平常训练中落实新课标理念,落实试题的命题背景及考查功能, 达到 感悟寓意, 提升 睿智 ! , 让学生身处高端, 一览众山小 ! . 另外, 试题命制技术的研究是每个老师应关注的, 编拟试题, 尤其编拟创新试题是中学教师的一项基本功, 也是教师专业发展 的必由之路, 通过留心观察、 用心思考, 编拟部分创新试题用于教学、 检测, 对学生能力提高, 尤其是尖子生的培养有很好的促进作用.4? 4? 教师应研究命题的特色江西省 2005年、 2006年江西省高考数学自主命题经历了从全国命题到自主命题的 无缝对接, 平稳过渡 ! , 2007年、 2008年、 2009年经历了 平稳发展 ! 的初级阶段; 2011年即将转入 新课标命题 ! 的发展阶段. 五年来, 江西大纲卷体现了高考的选拔性质和中学数学的学科特征, 执行了 − 考试大纲 . , 实现了江西省自主命题的平稳发展.稳定首先是表现在: 试题结构、 试题内容相对稳定、命题人员的相对稳定、 主要命题人员的命题风格稳定.纵观近几年江西卷, 区域特色特别明显, 个别试题带有明显的个人色彩, 很多不同年份的试题为姊妹题、 有的甚至是连续剧. 特别是解析几何江西卷一直在不断地翻新, 每年都在经典几何中披挂那些有趣味的定理, 如2008年文科的蝴蝶定理、 2009年文科的彭色列闭形定理, 还有 2006理 12, 2009理 11, 2010理 12, 2006理 16,2009理 16, 2007理 15, 2008理 20等 ? 值得回味与关注.(收稿日期: 20100629)11?试题赏析????????( 2010年第 8期?高中版 )。