音乐中的各音阶与频率的关系.pdf

音乐中的各音阶与频率的关系-- 十二平均律zz 2009-09-18 14:46 “律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系比如大家都知道的do、re、mi、fa 、so、la 、si ，这 7 个音符就组成了一组音律研究音律的学问叫做“律学”也就是研究为什么要选择do、re 、mi,, 这7 个音（当然也可以选择其它音）作为规范、 这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题令人惊讶的是， 古今不同民族， 虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、 百花争艳， 彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧BTW ：现代人学习的do、re、mi、fa 、 so、la 、si ，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant ）的首音节这些圣咏是西方现代音乐的源头学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。

而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波 所有的波 （包括声波、 电磁波等等） 都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、 相位对于声音来说， 声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率一般来说， 人耳能听到的声波频率范围是20HZ （每秒振动20 次）到 20000HZ（每秒振动20000 次）之间声波的频率越大 （每秒振动的次数越多）， 听起来就越“高” 频率低于20HZ的叫“次声波”，高于 20000HZ的叫“超声波”BTW ：人耳能分辨的最小频率差是2HZ 举例而言就是，人能听出100HZ和 102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和 101HZ 的声音有什么不同另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的打比方说， 100HZ、200HZ 、300HZ、400HZ,,这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。

100HZ、200HZ、400HZ 、800HZ,,这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照× 1、×2、×4、×8,, ，即按2n 的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”比如这里有16 个音，它们的频率分别是110HZ的 1 倍、 2 倍、 3 倍,,16倍大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近用音乐术语来说， 这些音都是110HZ的“谐波”（ harmonics ）， 即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍这个 ogg 文件可以用“暴风影音”／ StormCodec 软件来试听由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”（octave ）前面提到的do、re、mi中的 do，以及 so、la 、si后面的那个高音do，这两个do 之间就是八度音程的关系也就是说，高音do 的频率是do 的两倍同样的，re 和高音 re 之间也是八度音程的关系，高音re 的频率是re 的两倍 而高音 do 上面的那个更高音的do，其频率就是do 的 4 倍。

也可以说， 它们之间隔了两个“八度音程”显然， 一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”很自然，用do、re、mi 写的歌，如果换用高音do、高音 re 、高音 mi 来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000 年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8 个音符，其中就包含了一个八度音程当然这个八度音程不会是do 到高音 do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的这其实是律学的中心问题也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和 2F 之间还有那些重要的频率如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动 而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点， 即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2 长度振动的弦， 我们会听到一个比较高的音。

这个音和原来的音之间就是八度音程的关系因为在物理上， 弦的振动频率和其长度是成反比的由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉他们自然会想： 如果八度音程的2:1 的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1 是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1 那么，我们如果按住弦的1/3 点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音一个音的频率是原来的3 倍（因为弦长变成了原来的1/3 ），另一个音是原来的3/2 倍（因为弦长变成了原来的2/3 ）这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1 ）这样，在我们要寻找的F～2F 的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F那个 3F 的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置接着再试，数学上简单性仅次于3:1 的是 4:1 ，我们试试按弦的1/4 点会怎样？又出现了两个音一个音的频率是原来的4 倍（因为弦长变成了原来的1/4 ），这和原来的音（术语叫“主音”） 是两个八度音程的关系，可以不去管它 另一个音的频率是主音的4/3 倍（因为弦长是原来的3/4 ）。

现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F 同一根弦， 在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音在听觉上， 与主音 F 最和谐的就是 3/2F 和 4/3F（除了主音的各个八度之外）这个现象也被很多民族分别发现了比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras ， 约公元前6 世纪）我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”具体说来是取一段弦，“三分损一”， 即均分弦为三段，舍一留二， 便得到 3/2F如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F得到这两个频率之后，是否继续找1/5 点、1/6 点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F 、4/3F 实际上4/3F 已经比 3/2F 的和谐程度要低不少了 古人于是换了一种方法与主音 F最和谐的 3/2F 已经找到了， 他们转而找3/2F 的 3/2F ，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2 ）2F 即 9/4F 可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F 的频率减半，便得到了9/8F 。

接着把这个过程循环一遍，找3/2 的 3 次方，于是就有了27/8F ，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F 就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的我们最理想的情况是某一次循环之后， 会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了可是（ 3/2 ）n，只要 n 是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2 的某次方律学所有的麻烦就此开始数学上不可能的事， 只能从数学上想办法 古人的对策就是“取近似值”他们注意到（3/2 ）5≈7.59，和23＝8 很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了这样， 从主音 F 开始，我们只需把“按3/2 比例寻找最和谐音”这个过程循环5 次，得到了5 个音，加上主音和4/3F ，一共是 7 个音这就是为什么音律上要取 do、re 、mi 等等 7 个音符而不是6 个音符或者8 个音符的原因这 7 个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F 、81/64F 、4/3F、3/2F 、27/16F 、243/128F 如果这里的F 是 do，那么 9/8F 就是 re、81/64F 就是 mi,, ，这 7 个频率组成了7 声音阶。

这 7 个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic ）、上主音（ supertonic）、中音（ mediant ）、下属音（ subdominant ）、属音（ dominant ）、下中音（ submediant ）、导音（ leading tone ）其中和主音关系最密切的是第5 个“属音” so和第 4 个“下属音” fa ， 原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的由于这个音律主要是从“属音”so即 3/2F 推导出来的， 而 3/2 这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2 比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning ） ，东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率， 可以发现它们彼此的关系很简单：do～ re 、 re ～mi、fa ～so、so～la 、la ～si 之间的频率比都是9:8 ，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa 、 si ～do 之间的频率比都是256:243 ，这个比例被称为半音（semitone ）。

五度相生律”产生的7 声音阶，自诞生之日起就不断被批评原因之一就是它太复杂了前面说过， 如果按住弦的1/5 点或者 1/6 点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了 81/64 和 243/128 这样的比例， 这不会太好听吧？于是有人开始对这7 个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3 世纪 他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐 他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”自然音阶也有7 个音，但和“五度相生律”的7 声音阶有不小差别7 个自然音阶的频率分别是： F、9/8F 、5/4F、4/3F 、3/2F 、5/3F 、15/8F 确实简单多了吧？也确实好听多了这么简单的比例，就是“纯律”可以看出“纯律”不光用到了3/2 的比例， 还用到了5/4 的比例。

新的 7 个频率中和原来不同的就是5/4F 、5/3 （＝5/4 ×4/3 ） F、15/8 （＝5/4 ×3/2 ） F虽然“纯律”的7 声音阶比“五度相生律”的7 声音阶要好听， 数学上也简单， 但它本身也有很大的问题 虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了原来“五度相生律。