解析几何最值问题的解法.docx

解析几何最值问题的解法上海市松江一中 陆珲解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考 的常见题型由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下， 解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方 法：1、化为二次函数，求二次函数的最值；2、 化为一元二次方程，利用△；3、 利用不等式；4、 利用函数的单调性和有界性；5、 利用几何法在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用同时，恰当利用解析 几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也 可以简化问题，方便解题例题1:如图已知P点在圆x 2 + (y - 4)2二1上移动, Q点在椭圆扌+ y2 = 1上移动，求| PQ |的最大值 ［分析：如图先让Q点在椭圆上固定，显然PQ通 过圆心O时I PQ I最大，因此要I PQ |的最大值，1只要求I OQ I的最大值］1解：设Q 点坐标(x, y)，则 I OQ I2二 x2 + (y — 4)2 ①，1把②代入①得| OQ |2二 9(1— y2) + (y-4)2 =—8(y + 丄)2 + 27 12•/ q 点在椭圆上移动，.•. — 1 < y < 1 /. y =——时’丨 OQ 丨=\21 = 3\:32 1 min.•」PQ | = 3、込 +1min说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。

但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则 可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定例题2：如图，定长为3的线段AB的两端在抛物线y2 = X上移动，且线段 中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解法一：化为一元二次方程，利用△［分析：点M到y轴的最短距离，即求点M横坐标的最小值］ 设 A(x , y ), B(x , y ), M (x, y)则1 1 2 2x + x = 2 x1 2y + y = 2 y1 2< y2 = x11y 2 = x22(x — x )2 + (y — y )2 = 9 1 2 1 2③④代入⑤，整理得(y — y )2 r(1 2 1(y12+打-2 y1 y2) r(叮 y2)2+9由①③④得y 2 + y 2 = x + x = 2x1 2 1 2②代入上式得2y y = 4y2 — 2x12②⑦⑧代入⑥并整理得16 y 4 + (4 -16 x) y 2 + 9 - 4 x = 0•/ y g R，.」△ = (4 —16x)2 — 64(9 — 4x) > 0，即(4x — 5)(4x + 7) > 04x + 7 > 0,「. x > 5，将x 二 5 代入⑨得 y = ±^-24 4 2所以AB中点M到y轴的最短距离是5，相应的点M的坐标为（扌,亭）或说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行 适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次 方程，利用△计算。

在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应注意 方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦 达定理）等进行讨论和判断同时，此类解法字母较多，计算量大，解题 时应更加仔细解法二：利用不等式同解法一，得⑨，整理得（16y2 + 4）x = 16y4 + 4y2 + 9，x = y 2 + 9 =161+ 9 -1 > 2,'T -1 = 516 y 2 + 4 16 16 y 2 + 4 4 \16 4 4以下同前说明：利用不等式性质（a,b e R+,a + b > 2、而,a = b时等号成立）的解法也是 比较常用的解题方法，但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质 的特点，在进行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要最关注到位若题设条件无法在a = b时取得值，则应利用函数的单调性和有界性求得值解法三：几何法如图设A(m2,m), B(n2,n)则 以 AB为直径的圆为m±^）代入上式得,(x - m 2)( x - n2)+ (y - m)( y - n) = 0 准线x二-1上离圆最远的点M '(-1441 1 m+n m+n 1(- -m2)(- -n2) + ( -m)( -n)二(mn + — )2 > 04 4 2 2 4故准线x二-1与圆相离或相切，又圆半径为3，圆与准线相切时，即mn二-14 2 4点m的纵坐标m2n=±卜m 2+”2+2和=±{m2 +n2 mn+ = ±4 2时，点M到y轴的最短距离是3-4 = 5，即点M横坐标的m2 +所以点M的坐标为弓，¥）或（5，-¥） 说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设 条件具有相当的迁移能力。

例题3：在半径为r的圆o中，ab»2r，点p为Ab上一动点，过点p作ab设 P 点坐标(Rcos0,Rsin9)， 0 e (45)R cos0+^2 R □R sin 0-R =1R 22 ] 2 22R 2 =8R 2:S =1□ APQ 2=1R2 - 1(cos0-sin0+込2 +1 < 12 2 2 4 2血0 2討°-血°)- 2当皿0-sin0+f = 0，即0 二75时［S□ APQ」二 1R 2max 8解法二：如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系因为△ AOB为等腰直角三角形，所以圆心O坐标为(吕R‘耳R)，圆方程为(x £ R)2 + (y + 寻 R)2 = R2，即 x2 +y2 -皿 + 桓Ry -0(x - y)2 + 2 xy -g - y)二 0 •••xy 一 如-y)2 送 R(x - y)设P点坐标(x, y)，则点P的坐标满足上式,二 \ apq=2xy 一 4( x - y )2+寻R( x - y)•/ 0 < x — y 0 \：2R :.当 x 一 y = ' R 日寸,^2S□ APQ max说明：通过以上两种解法可见，不同的坐标系的建立方法对解题模式的影响是巨大的，虽然解法二也可用参数方程，但显然计算很复杂。

并且以上两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法所以，在解题时我们应综合分析题意，就能选择出恰当的角度和方法来解决问题。