概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章.ppt

§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性,第一章 随机事件与概率,2. 随机现象,1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象,1. 确定性现象,每天早晨太阳从东方升起;,水在标准大气压下加温到100oC沸腾;,掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？,一天内进入某超市的顾客数;,某种型号电视机的寿命;,§1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机现象,随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现. 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.,1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性.,2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.,3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.,4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个. 例1.1.2,1.1.2 样本空间,1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.,3. 必然事件 (Ω),4. 不可能事件 (φ) —— 空集. 例1.1.3,2. 基本事件 —— Ω的单点集.,1.1.3 随机事件,表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示. 注：随机变量把集合语言数据化,1.1.4 随机变量,在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量. 例1.1.4，例1.1.5,事件的表示,包含关系： A  B, A 发生必然导致 B 发生. 相等关系: A = B  A  B 而且 B  A. 互不相容： A 和 B不可能同时发生.,1.1.5 事件间的关系,解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.,2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.,例,口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。

A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”问 A 与 B 的关系？,并： A  B A 与 B 至少有一发生 交： A  B = AB A 与 B 同时发生 差： A  B A发生但 B不发生 对立： A 不发生,1.1.6 事件的运算,事件运算的图示,A  B,A  B,A  B,记号 概率论 集合论 Ω 样本空间, 必然事件 空间 φ 不可能事件 空集  样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,运算性质（交换律、结合律和分配率） 及德莫根律,基本事件互不相容，基本事件之并=Ω,注意点(1),注意点(2),可列（有限）交，可列（有限）并 对立事件一定不相容,注意点(3),若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2  ……An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.,样本空间的分割,试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； ② 仅 A 出现； ③ 恰有一个出现； ④ 至少有一个出现； ⑤ 至多有一个出现； ⑥ 都不出现； ⑦ 不都出现； ⑧ 至少有两个出现；,课堂练习,设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域,1.1.7 事件域,1. ΩF ;,2. 若 AF ，则 F ;,3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则 F .,注记：,F 对交、并、差运算封闭 （课后习题11） 常见事件域 （例1.1.10）,概率应该是个什么样子？ - 它应该是个函数P，自变量是随机事件，函数值是[0,1]上的实数。

- P(Ω)=1, P(φ)=0. - 互不相容事件的并的发生概率等于各自发生概率之和§1.2 概率的定义及其确定方法,非负性公理： P(A)0; 正则性公理： P(Ω)=1; 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An …… 互不相容，则,1.2.1 概率的公理化定义,注记：,概率是从事件域F 到[0,1]的函数 （Ω,F ,P）三元组称作概率空间 柯氏公理体系并未告诉人们如何去确定概率历史上确定概率的方法有频率法，古典法，几何法以及主观概率随机试验可大量重复进行.,1.2.3 确定概率的频率方法（统计试验法）,进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， 称 为事件A的频率.,频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,注记：,例1.2.1 容易验证频率满足柯氏公理 频率法的困境,1.2.2 排列与组合公式,加法原理,完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.,从 n 个不同元素中任取 r 个，求取法数. 排列讲次序（组合不讲次序）. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr 选排列：,排 列,组 合,组合：,重复组合：,古典方法 设  为样本空间，若 ① 只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数,1.2.4 确定概率的古典方法（古典概型）,容易验证古典概型满足柯氏公理体系 关于“等可能”的说明：务必辨别样本空间！ 例题讲解,注 意,1.2.5 确定概率的几何方法,若 ① 样本空间充满某个区域， 其度量(长度、面 积、体积)为S； ② 落在中的任一子区域A的概率， 只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关 (等可能的). 则事件A的概率为: P(A)= SA /S,几何方法的例子,例1.2.8 会面问题 例1.2.9 蒲丰投针问题,蒲丰投针问题(续1),解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离， 又以表示针与此直线间的交角. 易知样本空间满足： 0  x  d/2; 0   . 形成x-平面上的一个矩形，其面积为： S = d( /2).,蒲丰投针问题(续2),A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x  l sin ( /2). 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得,由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为: 2l/d. 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为: n/N. 用频率代替概率得：   2lN/(dn). 历史上有一些实验数据., 的随机模拟,Bertrand奇论,在一圆内任意取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少？,1.2.5 确定概率的主观方法,性质1.3.1 P(φ)=0. 注意: 逆不一定成立.,§1.3 概率的性质,性质1.3.2 (有限可加性) 若AB=φ，则 P(AB) = P(A)+P(B). 可推广到 n 个互不相容事件. 性质1.3.3 (对立事件公式，例1.3.1) P( )=1P(A).,1.3.1 概率的可加性,性质1.3.4 （例1.3.3） 若AB，则 P(AB) = P(A)P(B)； 若AB，则 P(A)  P(B). 性质1.3.5 P(AB) = P(A)P(AB).,1.3.2 概率的单调性,(6) P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC) 注：对任意n个事件的情形,1.3.3 概率的加法公式,AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。

解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B),例,得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，,所以 P( ) = 10.2 = 0.8.,例1.3.4,解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),= 0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3,P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).,例1.3.5,解：因为A、B、C 都不出现的概率为,= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC) = 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12,P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.,口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为,“第k 次取到白球” .,而“第k 次取到白球” 意味着：,“第1次……第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,从 1, 2, ……, 9中返回取n次， 求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：,“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。

因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球),常见模型(1) —— 不返回抽样,从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,此模型又称 超几何模型.,n  N, m  M, nmNM.,口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球. 从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.,思 考 题,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. 从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,常见模型(2) —— 返回抽样,条件： m  n , 即 m = 0, 1, 2, ……, n.,n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN),常见模型(3) —— 盒子模型,求n 个人中至少有两人生日相同的概率. 看成 n 个球放入 N=365个盒子中. P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同) 用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=,生日问题,p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922,n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率. 记 Ai = “第 i 个人拿对自己的帽子” ，i=1, …, n. 求 P(A1A2……An)，不可用对立事件公式. 用加法公式：,对立事件法不适用的例子。