“定幂差线”定理及其应用.pdf
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考 试 在 竞赛之路 —； — — 一 ⋯ 一 ～⋯ ～ ⋯ ⋯ ～一 一 ； · 高中 数学 竞 赛 中 常用 的结 论 · 一 ～ 磨 鏊臻 霪 沈毅 ( 重 庆市 合川 太和 中学 ) 平 面几 何 中 有这 样 一 个 能 够 沟 通 直 线 间 的 位置 关系和线段间的数量关系 的结论 ， 即定幂差线定理． 本文介绍这个定理 的相关知识及其应用． 定 幂差 线 定 理 A、 B 是 平 面 上 两 点 ， 则 满 足 P A 一P B 一k ( k为 常数 ) 的 点 P 的 轨 迹 是一 条 垂 直 于 AB 的直 线． 定理 中所 述 的轨 迹称 为定 幂 差 线[ 1 ] ， 下 面介 绍定 理 的一个 简单证 明． 证明 ： 以线段 AB的 中点为原点 ， 直线 AB为 轴建 立 直 角 坐 标 系， 并 设 A ( 一 t ， 0 ) ， B( t ， 0 ) ， P( x ， ) ， 其 中 ￡ 0 ， 则 P A 一 P B 一k [ ( z+ ) +Y ]一 [ ( z— t ) L + ] 一是 铺 一 ( 常数) ． ‘ ± 所 以点 P的轨 迹是 一条垂 直 于 AB 的直线 ． 对 于上 述定 理适 当拓展 ， 便 可得 到 下 面三 个 广泛 应 用 的推论 ． 推 论 1 设 A、 B、 P、 Q是 平 面上 四个 不 同的 点 ， 则 P Q上AB 的充 要 条件是 P A。
一PB ： ： = Q A 一Q B ． 推论 2 ( 根 轴 定 理 ) 两 已知 圆有 等幂 的点 的 轨 迹是一条垂直于连心线的直线． 推论 3( 三 垂 线 共 点 定 理 )D、 E、 F 分 别 是 AAB C的边 B C、 C A、 AB上的点 ， 分别过点 D、 E、 F 作所在边 的垂线 ， 则这三条垂线共点的充要条件是 BD + CE +AF 一 DC0 + EA + FB ． 限 于篇 幅 ， 上 述 三 个 推 论 的证 明 留给 读 者 完 成 ， 下 面介 绍定幂 差线定 理及其 推论在 解竞 赛题 中的 应用． 例 1 ( 2 0 0 7年 中国 国 家集 训 队测 试 题 ) 设 是 AABC的内心 ， M 、 N 分 别 为 AB、 AC的 中点 ， 点 D、 E分别在直线 AB、 AC上 ， 满足 BD—C E=BC ． 过点 D且垂直于 I M 的直线与过点 E 且垂直于 N 的直 线交 于点 P． 求 证 ： AP上B C ． 解： 如图 1所示， 设O 与边 AB、 AC相 切， 切点 分别为 G、 F ． O，的半径为 r ， B C=a ， C A—b ， AB—C ， 蔓 ⋯ 5 7 2 009 年 第 9期 l 匕旬 l 则 B D = = ： c E—n ， B M =AM =2 ， C N=AN=b ，BG 一 ，c F 一 半 ． 所 以 DG—BD—BG A 一 ± 睾 ， E F—C E—C F f + n— b 9 ‘ 因 此D M一 口 一号 ， E N — n B L 图 1 一 ，E 一， ． +EF 一， ． 。
+ ( ) ， D I 一 T．2 q - D G 一 y．2 + ( a -To ) ． 又 由 P D_ 上 I I M ， P E上J N， 得 P 一PI W — D 一DI V l z ． P， 0 一 PNz— E 一 EN ． 两式 相减 ， 得 P N 一 P 一 D 一 E f q - E N 一 D 一 ( 睾 ) ‘ 一 ( 号 ) ‘ 一 A N 一 A ， 因此 ， 由推论 1知 AP上MN， 即 AP 上BC ． 例 2 ( 2 0 0 9年 中国国家集训队选拔考试试题) 设 D 是 AAB C 的 边 B C 上 一 点 ， 满 足 △C D A ∽ AC AB， o0经过 B、 D 两点 ， 并分 别 与 AB、 AD 交 于 E、 F 两 点 ， BF、 DE 交 于 G 点． 连 结 AO、 AG， 取 A G 的 中点 M． 求证 ： C M上A 0． 解 ： 如 图 2所 示 ， 由 相交 弦 定 理 ， 可 在 AG 延 长线 上取点 P， 满足 AG · GP — EG ·GD — FG · G B， 连 结 0 _M、 0 C、 P B、 PD、 PF、 P E， 设 o0 的半 径 为 R． 图2 易证 A、 F、 P、 B四点共圆， A、 E、 P、 D四点共圆． 稿 中学数学教学参考 2 O0 9 年 第 9期 { t -- ~ -3} 竞赛之路 所 以 BP A + B ED 一 B F A + BF D = 1 8 0 。
． 于是 E、 B、 P、 F 四点 共 圆 ， 所 以 AE·AB=AG ·AF． 由圆幂定 理 ， 得 0[ ) 2 一 C D ·CB+R ， A0 =AE · AF+ R 一 AG ·AP+ R0 ， 0G 一 R0 一 EG ·GD — R 一 AG ·GP． 利 用 中线 长公 式 ， 得 1 1 M 一 M A 2 一 1 ( 2 0 A 2 + 2 0 G 2 一 A G 2 ) 一 { A G 2 1 一 妻( 2 R +A G· A P —A G· G P —A G ) 一R ． 由△C D A∽△C AB知 C A 一C D · C B， 所 以 C O 一C A 一R 一 一M ． 因此 C 』 上A0． 点评 ： 上面例 题体 现 了定 幂 差线 定 理与 勾股 定理 的密切联系， 在解题 中我们要注意这两个定理的综合 运用 ． 例 3 ( 1 9 9 7年 中国数 学奥林 匹克试题)四边 形 ABC D内接 于 O0， AB与 DC 的延 长 线交 于 点 P， AD与 BC的延长线交于点 Q， 过 Q点作该 圆的两条 切线 QE、 QF， 切点分别 为 E、 F ． 求证 ： P、 E、 F三点 共线 ． 解 ： 如图 3所示 ， 设 △QC D 的外 接 圆 与 PQ 交 于 点 G， 连结 O E、 O F、 0P、 C G， 设oo的半径为R． 易知 ／ P G C= QDC= ABC， 从 而 B、 C、 G、 P 四点共 圆． 利用 圆幂定 理和 切割线 定 理 ， 得 P02 一R0 + PB ·PA —R0 十PC·PD—R +PG ·PQ． 又 E Q2 一 Q C ·QB— Q G ·QP， 所 以 P0z— PQ。
一 R + PG ·PQ — PQ一 R 一 QG · QP—R 一 EQ ： E0 一 EQ Q =F ( ) 2 一F Q2 ． 图 3 P 根 据定幂 差线定 理 ， P、 E、 F三点共 线． 例 4 ( 2 0 0 7 年 中国国家队选拔考试题) 已知 AB 是o0的弦 ， M 是 AB 的中点， C是 O0外任意一点 ， 过点 C作oO的切线 C S、 C丁 ． 连结 MS、 MT， 分别交 AB于点 E、 F ． 过点 E、 F作 AB 的垂线， 分别交 OS 、 OT于点 X、 y， 再过点 C作 ( 三 ) 0的割线 ， 交 oO于点 P、 Q， 连结 MP 交 AB 于点 尺， 设 Z是 △PQ R 的外 心． 求证 ： X、 y、 Z三点共 线． 解 ： 如 图 4所示 ， 连接 相应 线 段 ， 易证 oM上AB， xE 7 oM． 所以 XES 一 oMS 一 ／ XSE， 即 XE— XS， 所 以， 以 X 为 圆 心 ，XE 为 半 径作 OX． 并 设 oX 和A P Q R 的外接 圆半径 分别 为 R 、 R ． 易 证ME · MS — MA 一 M R ·M P． 考 试 在 线 图 4 由圆幂定理 ， 得 xM2 一 ME ·MS+R — MR ·MP+ 磷 ， X — CS +R ， Z 一 MR ·MP+ R； ， Z C 一 C P ·C Q+ R； 一 CS 。
+R； ． 所 以 XM～ XC 一 MR ·MP— C S 一 Z 一 ZC ． 同理 可证 Z 一Z C =Y M 一y C ． 因此 由幂差线 定理 知 X、 y、 Z三点 共线． 点评 ： 运用定幂差线定理证明点共线问题的关键 是找 到两个 点 ， 使 得需 要证 明共线 的点到 这两 个 点距 离的平方差为定值 ( 或者相等) ． 例 5 设不等边△AB C的边 B C—n ， C A= = = b ， AB —C ， 0、 工分别 为其外心 和 内心， 且 A 上 1 0 ． 求证 ： b + c一 2 a． 解 ： 如图 5所示 ， 延 长 AI 交 B C 于 点 M ， 设 内 切 圆 与 边 B C、 C A相 切 ， 切 点 分别 为 D、 E， R、 r分别 是AAB C的外接 圆和 内切圆半径 ， 一 翌 ． 由角平分线定理， 得 图5 一 一 詈 朋B M ~ 6 a c M c 一 ， 所 以 MD—BD—B M 一户一6 一 a c ． 由圆幂定 理 ， 得 OA 一01 W =R 一OM 2 一BM -M C． 而 I A =AE +r =( p--a ) + ， I M 2 一 M D + r 2 一 ( 户 一 6 一 ) + ， 所 以， 由 AJ 上 I O 知 O A 一 O M2 一B M ·MC — 。
I 1 W ，即而 a c 一 (p 一 D 1_C 口 1-C 一 ( 一 6 一 而 a c ) ， 考 试 在 线 竞赛之路 评注 ： 例 5证 明的结论是三角 形三边成 等差 数 列 ， 而后 面 习题 5证 明的结 论则 是 三角 形 三边 的倒数 成等差数列 ， 读后让人感到数学的和谐 、 美妙 ! 例 6 △ABC中， 半径 为 R 的oo经过 A、 B两 点 ， 且 分别与 边 、 C B交 于点 D 、 E， AE与 BD 交 于 点 P． 求证 ： o C +0 P 一PC 一2 R ． 解 ： 如 图 6所 示 ， 过 点 C 作 oO的两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 M、 N， 连结 MA、 MD、 NB、 NE、 DE． 易证 △C D ^ ／ ) △C 4 ， △C E N ∽ △ C NB， △ CD lE∽△ C &A ． DM CD N E cN 于 是 M——A — CM ’ B—N— 一 —CB— ’ A B — CB 丽一面’ C 图6 由切线长定理知 C M—C N， 所 以 · · 于是 AE、 BD、 MN 相 交于点 P． 又 MN上C0， 所 以 P —P = = ： N —N 一0 一R 一R ， 即 0C + 0P0 一 PC。
一 2 R ． 习 题 1 ． P是 正△ABC内一点 ， 点 P在 边 BC、 C A、 AB 上的射影分别为 D、 E、 F ． 求证 ： BD+C E+AF=DC+E A+F B． 2 ． E、 F是 正方形 AB C D 的边 AB、 B C上 的点 ， 分 别以 AE、 C F为直径的半圆 、 外切于点 P ． 求证 ： P D是 与 的外公切线． 3 ． M 为 o0 内一 点 ， A B， ( 一1 ， 2 ， 3 ) 是 经 过 点 M 的o0的三条弦， 过点 AI 、 的O0的切线交于点 P ( 一1 ， 2 ， 3 ) ． 求 证 ： P 1 、 P 、 P 三点 共线 ． 4 ． 点 是△AB C的外心 ， 是 △AB C的旁 心， D、 E 分 别 是 边 AB、 AC 延 长线 上 的 点 ， 且 满 足 B。
