四阶行列式的计算.docx

四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性第二部分：基本知识一、行列式1 .行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式1） 它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2） 展开式共有n!项，其中符号正负各半；2. 行列式的计算一阶|a|=a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0,利用定理展 开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；m 行列式某行（列）的元素对应成比例；w奇数阶的反对称行列式二. 矩阵1. 矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2. 矩阵的运算（1） 加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2） 关于乘法的几个结论：① 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）；② 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③ 若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|；④ |kA|=kAn|A|3. 矩阵的秩（1） 定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2） 秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元 所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩4. 逆矩阵（1） 定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA=I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边 也成立）；（2） 性质：（AB）a-1=（BA-1）*（A—1），（A'）A-1=（AA-1）'； （A B 的逆矩阵，你懂的）（注 意顺序）(3) 可逆的条件：① |A|黄0；②r(A)=n;③A->I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A—1=(1/|A|)A*； (A* A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A^-1)5. 用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B顶 X= (AA-1) B；XB=A顶 X=B(AA-1)；AXB=C,则 X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1 .线性方程组解的判定定理：⑴r(A,b)黄r(A)无解；⑵ r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)

2) 解的结构：X=c1a1+c2a2+...+Cn-Qn-r3) 求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；② 写出对应同解方程组；③ 移项，利用自由未知数表示所有未知数；④ 表示出基础解系；⑤ 写出通解3 .非齐次线性方程组(1) 解的情况：利用判定定理2) 解的结构：X=u+c1a1+c2a2+...+Cn-ran-r3) 无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同4) 唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)四、向量组1. N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)2. 向量的运算：(1) 加减、数乘运算(与矩阵运算相同)；(2) 向量内积 a , ^ =a1b1+a2b2+^+anbn；(3) 向量长度|o|=Va'a=V(a1A2+a2A2+_+anA2) (V 根号)(4) 向量单位化(1/|a|)a；(5) 向量组的正交化(施密特方法)设al, a 2,…，an线性无关，则p1=a1,p2=a2- (a2zp1/p1zp) *p1,P3=a3- (a3zp1/p1zp1) *p1- (a3zp2/p2zp2) *p2, 3. 线性组合(1)定义 若B=k1a1+k2a 2+^+knan，则称。

是向量组a1, a 2,…，an的一个线性组 合，或称P可以用向量组a1, a 2,…，an的一个线性表示2) 判别方法将向量组合成矩阵，记A=(a1, a 2,…，an), B=(a1, a2,…，an,)若r (A)=r (B),则&可以用向量组a1, a 2,…，an的一个线性表示；若r(A)黄r (B),则&不可以用向量组a1, a 2,…，an的一个线性表示3) 求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数4. 向量组的线性相关性（1） 线性相关与线性无关的定义设 k1a1+k2a2+...+knan=0，若k1,k2,...，kn不全为0，称线性相关；若k1,k2,...，kn全为0，称线性无关2） 判别方法：① r（a1，a 2，…，an）＜n，线性相关；r（a1，a 2，…，an）=n，线性无关② 若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij=0，线性相关（N0无关）（行列式太不好打了）5. 极大无关组与向量组的秩（1） 定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2） 求法 设A=（a1，a 2,…，an），将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每 行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量1. 定义 对方阵A,若存在非零向量X和数入使AX=AX，则称入是矩阵A的特征值，向 量X称为矩阵A的对应于特征值入的特征向量2. 特征值和特征向量的求解：求出特征方程|入I-A|=0的根即为特征值，将特征值入代入对应齐次线性方程组(入I-A)X=0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量3. 重要结论：(1) A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；(2) A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；(3) 不同特征值对应的特征向量线性无关六、 矩阵的相似1. 定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P—1AP=B，则称A与B相似2. 求A与对角矩阵八相似的方法与步骤(求P和A)：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化(否则不能对角化)，将这n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为 A3. 求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三步要将所得特征向量正交化且单位化七、 二次型n1.定义n元二次多项式f(x1,x2,...，xn)=> aijxixj称为二次型，若aij=0(律j)，则称为二交型的标准型。

i,j=12. 二次型标准化：配方法和正交变换法正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q, QA-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换3. 二次型或对称矩阵的正定性：(1) 定义(略)；(2) 正定的充要条件：① A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；② A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；。