函数的连续性与间断点.ppt

第六节 函数的连续性,二 函数的间断点类型,一 函数的连续性,三 连续函数的运算,四 闭区间上连续函数的性质,1.函数的增量,,,,,,,,,,一、函数的连续性,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,,例3,证,二、函数的间断点及其类型,定义5,第一类间断点 如果 在间断点 处左右极限存在,则称点 为 的第一类间断点.,间断点分为第一类间断点与第二类间断点.,第二类间断点 如果 在间断点 处左右极限中至少有一个不存在,则称点 为 的第二类间断点.特别地有:,1.跳跃间断点,,例4,解,2.可去间断点,,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,,,例6,解,4、振荡间断点：如果 在点 处无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称为函数 的振荡间断点.,例7,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,函数,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,例8,解,定理1,例如,,1、四则运算的连续性,三、连续函数的运算性质,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,,反三角函数在其定义域内皆连续.,2、反函数与复合函数的连续性,定理3,例如,,（2）,（3）,3、初等函数的连续性,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义域内都是连续的.,均在其定义域内连续,（4）,结论： 初等函数求极限的方法可用代入法.,，分段点为,所以 在 处间断.,解,所以 在 处连续,从而函数 的连续区间为 和 .,四 闭区间上连续函数的性质,１、闭区间上连续函数的定义,２、最大值和最小值定理,定义:,例如,,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,,,,,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,3、介值定理,定义:,.,,,,,,几何解释:,几何解释:,,,,,,例6,例７,例８ 证明：若 在 上连续， 则在 上必有 ，使,证 因为 闭区间 上连续，由最大值最小值定理可知存在,判断思考题一,思考题一解答,且,但反之不成立.,思考题二,思考题二解答,是它的可去间断点,思考题三,下述命题是否正确？,思考题三解答,不正确.,例函数,。