极限计算中常见错误剖析毕业论文.doc

毕业(设计)论文题 目 极限计算中常见错误剖析 学生姓名 专业班级 R计算092班 所在院系　　 　 　理 学 院　 　 　　　 指导教师 职 称　教授 所在单位 理 学 院 　教研室主任　　　　　　 　 　　　 完成日期 2014 年6月10日摘 要极限的计算是微积分的基本运算，也是学习后继知识的基本工具，掌握好极限计算是学好微分课程的基础实际上，运算能力是运算技巧与逻辑思维的结合，计算过程是运用所学知识解决问题的过程在计算的过程中不只是注意计算结果的准确性，更看重的计算方法的合理性在学习了有关极限的基本概念，基本法则（原则），基本题型方法的基础上进行极限计算，重要的是极限类型的判断和解题方法的确定，而运算技能主要涉及初等代数运算（如因式分解，有理化，幂的运算...）和导数运算学生在做极限运算时,由于对极限的基本概念、基本原理理解的不够清晰、准确,基本技能和方法掌握的不够熟练,运算中不可避免地会出现这样或那样的错误,如:审题错误,运算错误,论证错误,方法错误,表述不规范和解题步骤不完备等。

因此本文针对学生出现的普遍错误进行归纳、整理,辨明错误的类型,分析出错原因,指导学生走出误区,使学生对知识的理解、掌握达到一个较高层次关键字： 极限 极限的算法 极限算法中常见错误ABSTRACT Limit is calculated basic operations of calculus , but also to learn the basic tools successor knowledge is the basis for calculating the limit master courses to learn differential . In fact, the computing power is a combination of computational skills and logical thinking, the calculation process is to apply the knowledge to solve problems in the process . Not just pay attention to the accuracy of the calculation results in the calculation process , the reasonableness of the calculation method is more valued. In learning about the limits of the basic concepts , basic rules ( principles ) , based on the basic questions and methods of calculating the limits on conduct , it is important to determine the limits of the type of judgment and problem-solving methods, and arithmetic skills, mainly related to elementary algebra ( such as factoring , there are physical and chemical, power computing ... ) and derivative operations. Students do limit calculation , due to the basic concepts of limits , inadequate understanding of the basic principles of clear, accurate way to master basic skills and not enough skilled operators will inevitably arise in this or that error , such as: moderation error , operational errors, argumentation errors, wrong way , expressed irregularities and problem-solving steps , such as incomplete . Therefore, students should be for the common errors that appear induction, consolidation , identify the type of error , error cause analysis , to guide students out of misunderstanding , so that students of knowledge to understand and master to reach a higher level .Key Words： Limit Limit algorithm algorithm common errors大连交通大学2014届本科生毕业论文目 录一 极限的概念及定义 1二 极限中常见的错误 32.1运用两边夹法及其常见错误 32.2四则运算法及其常见错误 52.3变量替换及其常见错误 62.4分段函数的极限及其常见错误 82.5利用幂级数求极限及其常见错误 92.6利用泰勒公式求极限及其常见错误 102.7利用微分中值定理求极限及其常见错误 112.8定义求极限及其常见错误 122.9利用洛必达法则求极限及其常见错误 13谢 辞 17参考文献 18一 极限的概念及定义①各种类型的极限基本上可以统一表示为函数极限。

根据自变量的目标值与函数的目标值的不同含义，以及它们相应邻域的意义，就可以得到不同形式极限的意义例如，当的自变量只取正整数，为时，就是数列，的极限；当的自变量从点左方趋于（或右方趋于）时，就是函数的左极限（或右极限）；当时，极限表示在时为无穷小；当为时，表示在时为无穷大，它是极限不存在的一种形式其他各种形式所表示的极限也是容易理解的 一般来说，极限的定义蕴涵着自变量落在点的充分小邻域内时，函数的值落在的充分小邻域内为此，各种邻域的概念及其表达式是至关重要的，它有利于理解极限的分析语言描述的精神实质函数在时的极限的分析定义是：对于任意给定的，总存在，当时，恒有极限的分析定义是：存在某个，对任意的，总存在点满足时，使②由极限的定义知，因极限是研究自变量趋向于的过程中函数的变化趋势，故极限是否存在以及存在时其极限值是多少，可以与函数在点处的函数值以及距离较远的点的函数值无关，而只与点的邻域内函数有关于是既使极限不存在，函数在点处也可以有定义；同样，即使极限存在，热函数在点也可以没有定义③利用分析语言已证得如下几个基本极限：； ； ；； ； ；； ； 。

④关于极限的分析语言定义，有如下两个问题：第一个问题是用分析语言直接证明某个极限它是对任意给定的，由去确定与有关的，使得自变量与定点的距离，此时的是相对给定的为了确定，就需要设法从中分解出因子，让其余的因子是一个关于的有界量既设法将不等式转化为不等式从而由此找到注意，这里的是与任意给定的有关，而与无关的，故所找到的也是与有关，而与无关对于用分析语言证明极限的问题，只需要考虑到无穷大邻域的表达形式就明白现在应该考虑和两个不等式这时，为了确定，就需要设法从中分解出因子，并转化为不等式 ，从而由此找到只与有关而与无关的这样找到的能使得对任意给定的，当时恒有，即同理，可以用分析语言证明其他各种类型的极限这一项工作要着重注意如下两点：首先，在证明过程中分析语言表达要准确其次，因为我们只关心与有关的（或）的存在，只要找到符合定义要求的（或）就可以了，不一定要找最大的（或最小的），所以在分析语言证明过程中，可以适当放大绝对值，使放大后的式子小于，既能较方便地求得（或）在证明过程中绝对值的适当放大，可以通过利用的特性来实现例如，当时，依照邻域的概念可以不妨假设；如果考虑，则可以不妨假设大于某个有限的给定正数。

这是一种有条件放大技巧 第二个问题是：由已知某个极限存在，利用分析语言去证明另一个极限存在的命题根据极限的分析语言定义，由已知的便有：对任意给定的，当然对某一个特定的，总存在，当时，恒有这里的是已经找到的正数然后利用这个，以及有关不等式去分析证明待证的有关极限的命题，此时要找的不仅与有关，而且还与已经找到的有关随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有;即称为泰勒公式众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。

它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面二 极限中常见的错误2.1运用两边夹法及其常见错误 用迫敛性求数列的极限,关键是找出两个有相同极限的数列与,使,一般可以利用的下界确定,取为常数,而通过加强得到,再证明 计算中常见错误分析 例1.求极限 (1984年中山大学研究生人学试题) 解:令 当时，有 于是，有 所以 错误分析：再利用两边夹的时候错误的放大和缩小两边的极限 正确解法：当时，有 于是，有 又，所以 解析：再利用两边夹算法的时候经常会出现对于缩放找不准，以至于计算错误 例2. 错解：令 则 即且 所以 错解分析：本题在利用夹逼定理的时候搞混了上界和下界的关系 正确解法：令 则 即且 所以 例3. 错解：令 则 即且 所以 错解分析：本题再利用夹逼定理的时候上下限的缩放出现了错误 正解：令 则 且， 所以2.2四则运算法及其常见错误若函数与在都收敛，则函数，，也收敛，适用于分子，分母的极限不同时为零或不同时为且1) ；2) ；3) ，其中。

常见错误分析 例1.求极限 错解：把代入原式中得 错解分析：不能直接应用商的极限（因为分母的极限是0）运算法则 正确解法：= 。