
圆中常见辅助线.docx
21页WORD格式圆中常见辅助线的做法一.遇到弦时(解决有关弦的问题时)1.常常添加弦心距,或作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量例:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证:AC=BD证明:过O作OE⊥AB于E∵O为圆心,OE⊥AB∴AE=BECE=DEO∴AC=BDACBED练习:如图,AB为⊙O的弦,P是AB上的一点,AB=10cm,PA=4cm.求⊙O的半径.OBAP2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例:如图,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证:ACBD证明:(一)连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点∴OM=12AO、ON=12BO∵OA=OB∴OM=ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC=ODCD∴Rt△COM≌Rt△DON∴∠COA=∠DOBABMON∴ACBD(二)连结AC、OC、OD、BD∵M、N分别是AO、BO的中点∴AC=OCBD=OD∵OC=OD∴AC=BD∴ACBD3.有弦中点时常连弦心距例:如图,已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD,求证:∠AMN=∠CNM证明:连结OM、ON∵O为圆心,M、N分别是弦AB、CD的中点1/12专业资料整理∴OM⊥ABON⊥CD∵AB=CD∴OM=ON∴∠OMN=∠ONMAC∵∠AMN=90o-∠OMNo-∠OMNMN∠CNM=90o-∠ONMo-∠ONM∴∠AMN=∠CNMBOD4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例:如图,已知⊙O1与⊙O2为等圆,P为O1、O2的中点,过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证:AC=BD证明:过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N,则O1M∥O2NOMOP∴11ONOP22AMC∵OP=OPOM=ONAC=BD1212∴∴二.有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅O1PDO2N助线的方法:B⑴连结过弧中点的半径⑵连结等弧所对的弦⑶连结等弧所对的圆心角例:如图,已知D、E分别为半径OA、OB的中点,C为弧AB的中点,求证:CD=CE证明:连结OC∵C为弧AB的中点∴ABBC∴∠AOC=∠BOCO∵D、E分别为OA、OB的中点,且AO=BO∴OD=OE=又∵OC=OC12AO=12BOADCEB∴△ODC≌△OEC∴CD=CE三.有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题.例:如图,AB为⊙O的直径,AC为弦,P为AC延长线上一点,且AC=PC,PB的延长线交⊙O于D,求证:AC=DC证明:连结AD∵AB为⊙O的直径Do∴∠ADP=90B∵AC=PCO∴AC=CD=12APACP2/12例(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且BAPC。
求证:PA是⊙O的切线证明:作⊙O的直径AD,连BD,则CD,ABD90即DBAD90∴CBAD90∵CPAB∴BADPAB90即APAD∴PA为⊙O的切线四.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用:利用圆周角的性质,可得到直径练习:如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90o,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点,连结BD交⊙O于F.求证:BCCFBEEF五.有等弧时常作辅助线有以下几种:⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习:1.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,交点为E,F为DC延长线上一点,连结AF交⊙O于M.求证:∠AMD=∠FMC(提示:连结BM)2.如图,△ABC内接于⊙O,D、E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2,求证:AB=AC(提示如图)FAM1C2OAOEBBDCEGFD1题图2题图3/12六.有弦中点时,常构造三角形中位线.例:已知,如图,在⊙O中,AB⊥CD,OE⊥BC于E,求证:OE=证明:作直径CF,连结DF、BF12AD∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FDA又∵CD⊥AB∴AB∥DFCDO∴ADBFEF∴AD=BFB∵OE⊥BCO为圆心CO=FO∴CE=BE∴OE=12BF∴OE=12AD七.圆上有四点时,常构造圆内接四边形.例:如图,△ABC内接于⊙O,直线AD平分∠FAC,交⊙O于E,交BC的延长线于D,求证:AB·AC=AD·AE证明:连结BE∵∠1=∠3∠2=∠1E∴∠3=∠2∵四边形ACBE为圆内接四边形O3A12F∴∠ACD=∠E∴△ABE∽△ADCBCDAEAB∴ACAD∴AB·AC=AD·AE八.两圆相交时,常连结两圆的公共弦例:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B,过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D,过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证:CE∥DF证明:连结AB∵四边形为圆内接四边形D∴∠ABF=∠CAC同理可证:∠ABE=D∠o∵∠ABF+∠ABE=180o∴∠C+∠D=180EO1BO2F∴CE∥DF九.在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:⑴当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可.4/12例1:如图,P为⊙O外一点,以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点,连结PA、PB.求证:PA、PB为⊙O的切线证明:连结OAA∵PO为直径o∴∠PAO=90∴OA⊥PAPO∵OA为⊙O的半径B∴PA为⊙O的切线同理:PB也为⊙O的切线例2:如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E,求证:CD是小圆的切线证明:连结OE,过O作OF⊥CD于F∵OE为半径,AB为小圆的切线∴OE⊥ABFD∵OF⊥CD,AB=CDCO∴OF=OE∴CD为小圆的切线AEB练习:如图,等腰△ABC,以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P,PE⊥AC于E,求证:PE是⊙O的切线AOECBP十.当已知条件中有切线时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理证题.例:如图,在Rt△ABC中,∠C=90o,AC=12,BC=9,D是AB上一点,以BD为直径的⊙O切AC于E,求AD长.解:连结OE,则OE⊥AC∵BC⊥AC∴OE∥BC∴OEAOBCAB在Rt△ABC中,AB=221229215ACBC∴OEABOB15OE9AB15∴OE=OB=458C∴BD=2OB=454E∴AD=AB-DB=15-454=154ABDO答:AD的长为154.5/12练习:如图,⊙O的半径OA⊥OB,点P在OB的延长线上,连结AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线CE交OP于C,求证:PC=CDPCDBEAO十一.遇到两相交切线时(切线长)常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:据切线长及其它性质,可得到:①角、线段的等量关系;②垂直关系;③全等、相似三角形十二.遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段作用:利用内心的性质,可得:①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;②内心到三角形三条边的距离相等在处理内心的问题时,常需连结顶点与内心,以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质十三.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等十四.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线作用:①利用切线的性质;②利用解直角三角形的有关知识十五.遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等作用:①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;②利用圆内接四边形的性质;6/12③利用两圆公共的圆周的性质;垂径定理1.作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角,沟通两圆的角的关系例1.如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过A、B分别作直线CD、EF,且CD//EF,与两圆相交于C、D、E、F求证:CE=DF。
图1分析:CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦,难以直接证明它们相等,但通过连结AB,则可得圆内接四边形ABEC和ABFD,利用圆内接四边形的性质,则易证明证明:连结AB因为DABE,CABF又DABCAB180所以EF180即CE//DF又CD//EF所以四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2.作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形,解决有关的计算问题例2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,两圆的半径分别为62和43,公共弦长为12求OAO12的度数图2分析:公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧,要求OAO12的度数,可利用角的和或差来求解解:当AB位于O1、O2异侧时,如图2连结O1、O2,交AB于C,则O1O2AB分别在RtAO1C和RtAO2C中,利用锐7/12角三角函数可求得OACOAC145,230故O1AO2O1ACO2AC75当AB位于O1、O2同侧时,如图3图3则O1AO2O1ACO2AC15综上可知O1AO275或15例2:已知,⊙O1与⊙O2交于A、B,⊙O1的弦AC切⊙O2于A,过B作直线交两圆于D、E求证:DC∥AE分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB,由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E即得证。
练习:如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D;经过点B的直线EF于⊙O1交于点E,与⊙O2交于。
