（完整版）太原理工大学研究生期末考试组合数学答案.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1. 填空(此题共 20 分，共 10 空，每空 2 分)1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5 的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，就共有 1200 种不同的摆放方法；C55. 2答案：12002) 在(5a1-2a2+3a3)6 的绽开式中， a12.a2.a33 的系数是 -81000 ；答案：6. 252. 1. 3.( 2) 33810003) 有 n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，共有n 2n 1 1种方案；4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交叉开来，试求从一特定引擎开头点火有 12 种方案；CCC121 1 1答案： 3 2 25) 从 1 到 600 整数中既不能被 3 整除也不能被 5 整除的整数有 320 个；6) 要举办一场晚会，共 10 个节目，其中 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目；现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要支配一个演唱节目， 就共可以写出 604800 种不同的节目单；3答案： 6. C74. 6048007) 把 n 男 n 女排成一只男女相间的队伍，共有2 (n. ) 2种排列方法；如围成一圆桌坐下，又有2 (n. )2/(2n)种方法；n28) n 个变量的布尔函数共有 n个互不相同的；9) 把 r 个相异物体放入 n 个不同的盒子里，每个盒子答应放任意个物体， 而且 要 考 虑 放 入同 一 盒 中 的 物 体 的 次 序 ， 这 种 分 配 方 案 数 目 为P(n答案：rn(n1,r )1)( n；2) (nr 1)(n r( n1).1).P( nr 1, r )第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2. (此题 10 分)核反应堆中有 α和 β两种粒子，每秒钟内一个 α粒子分裂成三个 β粒子，而一个 β粒子分裂成一个 α粒子和两个 β粒子；如在时刻 t=0 时，反应堆中只有一个 α粒子，问 t=100 秒时反应堆中将有多少个 α粒子？多少个 β粒子？ 解: 设 t 秒钟的 α粒子数位 at，β粒子数为 bt , 就at bt 1bt 3at 1 2bt 1a0 1, b0 0at bt 1bt 2bt 1 3bt 2 ( )b0 0, b1 32（ * ）式的特点方程为 x2 x 3 0 ，解得 r11, r23 ，即 btA1 (1)tA 3t2A 3 , A 3代入初始值 b00, b13 ，解得 1 4 2 4tb 3 (41)t3 3t4at bt 13 ( 1)t 143 3t 14a1003 (39941), b1003 ( 3100 1)4an3. (此题共 10 分，共 2 小题，每道题 5 分)1 2①设 n P a1 P a2n ， P1, P2 ,Pn 是互不相同的素数， 设求能除尽 n 的正整数数P目为多少？解：每个能整除尽数 n 的正整数都可以选取每个素数 Pi 从 0 到 ai，即每个素数有 ai+1 种挑选，所以能整除 n 的正整数数目为(a11)(a2 1)(an1) 个；②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数；n P a1 P a2P an(a 1)( a1) (a 1)证明：依据题①中结论， 1 2 n ，能被 1 2 n 个第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2a2 an2 P 1 P2a 2 P n(2a1)(2a1) (2a 1)数整除，而1 2 n 能被 1 2 n个数整除， 2ai+1 为奇数 (0 i4. (此题 10 分)证明等式1) ，所以乘积为奇数，证毕；2 2 2n n n0 1 2求(1+x4+x8)100 中 x20 项的系数；2n 2nn n证明：(1 x) 2 n(1 x) n (1x) n2n 2nx0 12n x2 n2n2n nx0 1n n n,n xnnn,0 n 1 n 1比较 n次方系数即可证；解：（1 x4100x8）1001 ( x4x8 )100Ck 100k 0( x4x8 ) k1100 k分析 ( x4x8 ) k的结构可知仅当 k3，4,5时有 x20项k 3时，系数k 4时，系数 k 5时，系数3C100C4100C5100C 2 ,34C 3 ,5C 0 ,三个系数相加即为所求 ；第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -5. (此题 10 分)求 1，3，5，7， 9 这五个数可以组成多少个不同的 n 位数，其中要求 3 和 7显现次数为偶数；32224解： Ge( x)(1 x x) (1 x x )ex3 x ( e1 x1.x2e )23x 5x2.e2 xe3 x12. 4.e22 x4xrr r(e 2e4e ) (1 2 3 5 )n4 r 0 r .所以可以组成1 1 2 35 ）个不同的n位数；n（46. (此题 10 分)6 个人参与一会议，入场时将帽子随便挂在衣架上，走时匆忙忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？解： PD6 1 16. 1.1 21 1 1 1 12. 3. 4. 5. 6.3 4 5(720C6 5. C6 4.C6 3. C6 2. C6 1. 1) / 720(7206 12015 2420 615 26 1) / 720(72072036012030 61) / 720265 / 720可以证明，当0.368n比较大时， Dnn.1 0.36788.e7. (此题 10 分)求满意以下条件的整数解数目 x1+x2++x3+x4=20，其中 1≤x1≤5， 0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6；第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解：设 y1x1 1, y2x2 , y3x3 4, y4x4 2,y1 y2 y3 y4 13,0 y1 4,0 y2 7,0y3 4,0 y4 4,134 -1 16 16如不附加有上届条件的对于有上届的问题要作依据公式应为13变换13 3560.1 4 -1 0,y1,22 7 -0, 3y2 , 30, 44 - y3, 404 - y4 ,于是问题转为整数解数目为1 2 3 4 66 4 - 1 9 984.6 6 38. (此题 10 分)长为 5 米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？ (刚体运动使之吻合算一种方案 )解：第一类置换： P1(1)( 2)( 3)( 4)(5),其次类置换：P绕OO翻转 P（15）（ 24）（3），1置换格式：1个15 ,1个1122 ， l2(2523 ) / 220.试问如要求其中有 3 米为红色， 2 米为蓝色的方案数是多少？解：如木棒不行动，就5个对象任取2个对象染蓝色，方案数为10.但木棒可翻转，使得12和45,13和53,14和52,23和43为蓝色分别为同一种方案，此时不同方案数为 6.OP1 2 3 4 5O1第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -9. (此题共 10 分，共 2 小题，每道题 5 分)①给出m m m m 1m m n2n m 的组合意义；0 n 1 n 1 n 0 n解：右边：m个球，从中取出n个放入两个盒子，n个球中每个球都有两种方法，得到可能的 方案数；左边：第i 项的意义是一个盒子中放i个，另一个盒子放n - i个，全部的方案数相加应当 等于右边；n②证明22 n 32 nn2 n n(n1)2n 2 ；1 2 3 n证明：在二项式 (1x) n n 0n x n x21 2n x33n xnn的两端对。