高数第二篇线性代数 第2讲_二次型的矩阵处理.ppt

二 次 型第1节 二次型的概念第2节 二次型的矩阵处理一 二次型的矩阵表示形式1 二次型可以用矩阵表示若记＝(注意这里 aij=aji )第2节 二次型的矩阵处理对如上的二次型矩阵表示形式，显然矩阵 A 完全决定了二次型 f，注意矩阵 A 的特点，aij = aji, (i,j=1, 2, …, n)即 A 为对称矩阵其实任给一个方阵 A，即不要求 A 对称，则f = xT A x,都是一个二次型比如2 二次型与矩阵的关系 对二次型 xTAx，它由A完全确定，如此则二次型的一些特性应能在矩阵A中有所反应但注意到如不对矩阵 A 加以限制，则一个二次型可以对应不同的方阵，反之，不同的方阵也有可能定义同一二次型这种不惟一性将导致关系的无法传递（即无法建立映射），从而应予以克服若要求A为对称矩阵，则任一二次型都可惟一地对应于一个对称矩阵；反之任一对称矩阵可惟一对应于一个二次型，且这种对应是一一映射关系，这样就克服了不惟一性问题对二次型 xTAx，若A为对称矩阵，则称 A 为二次型 f 的矩阵，称 f 为对称阵 A的二次型对称阵 A 的秩就叫做二次型 f=xTAx 的秩。

例：写出如下二次型的矩阵1)2)3)3 可逆线性变换的矩阵表示 二次型主要是化标准形问题，即通过如下的可逆线性变换将二次型化为只含平方项的标准形式对上述可逆的线性变换，若记 C = (cij)，则上述变换可写成矩阵形式x = Cy.其中矩阵C可逆反之，若矩阵 C 可逆，则 x=Cy 为可逆的线性变换4 二次型结论向矩阵结论的转化在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型都可以通过可逆的线性变换化为标准形本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成矩阵的形式基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表示形式，我们可以得到：对任一二次型 xTAx, 其中 AT=A，存在 x=Cy, C可逆，使得xTAx = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC)y = yTBy为二次形的标准形，其中 B=CTAC 为对称矩阵，故为标准形的矩阵，从而一定是对角矩阵对上面内容的描述，若只考虑矩阵内容，则可得如下结论：定理：对任意的对称矩阵A，总存在可逆的矩阵C，使得 CTAC 为对角形矩阵这样由于表示式 f = xTAx的存在，使得我们完成了二次型知识到矩阵知识的转化 上述分析还表明二次型变换前后的矩阵有如下关系B = CTAC.定义：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵 C，使 B=CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同，或称 A 合同于 B，记作 A B。

定理：对称矩阵一定与对角矩阵合同矩阵的合同是一种等价关系：1) 反身性：2) 对称性：3) 传递性：定理：合同的矩阵有相同的秩证明：…对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的，从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩二 二次型的正交标准化对实对称矩阵,我们有定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ，其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆的线性变换化为标准形，但这里有两个问题或麻烦，其一是证明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变换也不是简单易得的问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形证明：因为 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ，其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。

从而有f = xTAx = (Uy)T A (Uy) = yTUTAUy = yT(UTAU) y= yT Λ y 由于 Λ 是对角矩阵，从而正交变换Uy将二次型化为标准形注意：这里给出了二次型可化为标准形的矩阵证明方式；并同时指出了所求的可逆的线性变换例：求一个正交变换 x=Py，把如下的二次型化为标准形解：二次型 f 的矩阵为A的特征多项式为对上述基础解系再先正交化，然后再单位化即可得到构造正 交矩阵的正交单位向量p2, p3, p4；问题：能否直接构造出正交的基础解系？知识是死的，人是 活的，有灵性的对已是正交的基础解系单位化，从而所得的正交变换为且有 f = 三 二次型化标准形问题的进一步分析及初等变换法在上例中，我们给出了二次型化标准形问题的正交变换法但上例的求解过程表明，这种方法也并不简单比如试用正交变换法化如下的二次型为标准形解：二次型的矩阵为它的特征多项式为该多项式无有理根由于当 A 的特征多项式没有有理根，从而只能是无理根此时该多项式的的因式分解没有一般的方法可循，这构成一个实际的困难，即无法确定特征值问题：我们目标是什么？终极目标是求特征值吗？将二次型化为简单的标准形式，目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有必要。

我们再来看定理定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形做多了在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的结论中，我们只使用了二次型如下的的一般记法并没有涉及到矩阵知识但如前所述，二次型与对称矩阵存在一一对应关系，因此二次型可经可逆线性变换化为标准形的结论在对称矩阵上必有所反应即对称矩阵应有相应的性质对此作出解释＝由定理，若A为对称矩阵，知必存在可逆的矩阵C，使得CTAC 为对角矩阵因可逆的矩阵可表示为初等矩阵的乘积，从而存在初等矩阵 , 使得 代入上式则有：即存在初等矩阵使得上式为对角矩阵又若P为初等矩阵，则 PTAP 相当于先对 A 作了一个列初等变换，又作了一个行初等变换，并且是成对的因此上式又表明，只需对 A 作一系列成对的初等变换，就可以变成对角形，我们只需记录下全部的列变换或全部的 行变换，就得到了矩阵 C 或 CT初等变换法化二次型为标准形( A, E) (Λ , CT)例：化二次型为标准形则所求的非退化线性替换为 x = Cy. 记例: 化二次型为标准形解：用初等变换法＝故作如下非退化线性替换则可将 f 化为如下的标准形。