汕头市金山中学2024届高三第三次调研考数学试题文试题.doc

汕头市金山中学2024届高三第三次调研考数学试题文试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2．答题时请按要求用笔3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）A． B． C． D．2．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按，，编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母，，的概率为（ ）A． B． C． D．3．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）A． B． C． D．4．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）A．35 B．36 C．45 D．545．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ）A． B． C． D．6．已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ）A． B．C． D．7．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．已知是虚数单位，若，，则实数（ ）A．或 B．-1或1 C．1 D．9．已知全集为，集合，则（ ）A． B． C． D．10．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ）A． B． C． D．11． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）A． B． C． D．12．函数的图象大致为（　　　 ）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知△的三个内角为，，，且，，成等差数列， 则的最小值为__________，最大值为___________.14．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．15．曲线在点处的切线方程为__．16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.18．（12分）设，，，.（1）若的最小值为4，求的值；（2）若，证明：或.19．（12分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．21．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？参考公式： 22．（10分）已知函数 .（1）若在 处导数相等，证明： ；（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．A【解题分析】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．详解：设，则，，，∴，令，则，，∴是上的增函数，又，∴当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，，∴的最小值是．故选A．点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．2．B【解题分析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”， 记事件“恰好不同时包含字母，，”为，利用对立事件的概率公式计算可得；【题目详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为（个），则事件“恰好不同时包含字母，，”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母，，”记事件“恰好不同时包含字母，，”为，则.故选：B【题目点拨】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．3．B【解题分析】由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【题目详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【题目点拨】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．4．C【解题分析】由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.【题目详解】正项等差数列的前项和，，，解得或（舍），，故选C.【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.5．C【解题分析】根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.【题目详解】由题可知：点E是中点，点F是中点，所以又所以则故选：C【题目点拨】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.6．C【解题分析】由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.【题目详解】依题意，，即,解得；因为所以，当时，.故选:C.【题目点拨】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.7．A【解题分析】由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.【题目详解】由已知可得，，所以，从而双曲线方程为，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，此时，所以，，所以；当轴时，，所以，又为锐角三角形，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.8．B【解题分析】由题意得，，然后求解即可【题目详解】∵，∴.又∵，∴，∴.【题目点拨】本题考查复数的运算，属于基础题9．D【解题分析】对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【题目详解】,,.故选:D【题目点拨】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.10．D【解题分析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．考点：数列的通项公式．11．C【解题分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.【题目详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，∴6和28不在同一组的概率.故选：C.【题目点拨】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.12．A【解题分析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【题目详解】因为 ,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A【题目点拨】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 【解题分析】根据正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范围，然后构造函数，利用导数，研究函数性质，可得结果.【题目详解】由，，成等差数列所以所以又化简可得当且仅当时，取等号又，所以令，则当，即时，当，即时，则在递增，在递减所以由，所以所以的最小值为最大值为故答案为：，【题目点拨】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.14．【解题分析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【题目详解】解：连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：设 得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.15．【解题分析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【题目详解】因为，所以，从而切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【题目点拨】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.16．【解题分析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,【题目详解】令；当时，，不合题意；当时，，令，得或，所以在区间和上单调递减.因为，且在区间上单调递增，所以在处取极小值，即最小值为.若，，则，即.当时，，当时，则.设，则.当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，所以的最大值为.故答案为： 【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题. 不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；（2）由题意可将转化为，。