（答案）奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---参考答案（第3-5章）.docx

第三章 托勒密定理及应用习题A1．由和，有，，对四边形应用托勒密定理，有．令，得方程，求得(舍去了负值)．于是．又，求得，或，，总之为所求．2．连，，由，，知，即．设其比值为（为参数），则，，对四边形应用托勒密定理．有，即注意到，消去，得．3．连，在四边形中应用托勒密定理，有．4．连，设，，的半径为．由为上中线，可令．由正弦定理有，．对四边形应用托勒密定理，有，消去，两边同乘以得，亦即，由此即证．5．连，则，．对四边形应用托勒密定理，有，即，由此整理即证．6．对四边形应用托勒密定理，有，即，同理，对四边形，，分别应用托勒密定理，有，，．由此四式即证得结论．7．设圆心到，，的距离分别为，，，连接并延长与交于，连，，则，，对四边形应用托勒密定理有．同理，，．加之，但，以上两式相加得．但，，，由此即证．8．作一直径的圆，在的两侧分别取，二点，使，，于是，，对四边形应用托勒密定理，有，将此式与原方程比较得．在中，由余弦定理，有，知，故为所求．9．作直径的圆，并作弦，的圆内接四边形，则，．应用托勒密定理，有，即，由此得，即也是圆的直径，故．10．当时，，当时，作代换，，，即，以为直径作圆，作弦，作弦，则，．由托勒密定理及，有，亦有，即，故．11．连，，，对四边形应用托勒密定理，有，而，有．同理，，由此即证．12．不失一般性，令点位于内部（其中为中心），作于，于，于．由，，，四点共圆，有，知，，，四点共圆，即，，，，共圆，推知是正三角形，在中，有，即，故．13．作外接圆的直径，并设，，则，直径．对四边形应用托勒密定理，有．从而．14．令，对四边形应用托勒密定理，有，即有．对四边形应用托勒密定理，有，即．15．对四边形应用托勒密定理，，即．又及，有，，于是，注意到即证．16．连，和，对四边形应用托勒密定理，有，又，，则，有，令其比值为，则，消去，注意到即证．17．作交于，则，．对四边形应用托勒密定理，．由平分，知，即，由此知，有．故．同理，有．此两式相减有，故．18．在直径的圆中，在两个半圆上分别取点和，使，，则，．由托勒密定理，有，与原方程比较得．在中，由余弦定理，有，则，故．19．由，在直径的圆中，在一半圆上取点，使，；在另一半圆上取中点，则．连，知，由托勒密定理，有，即又在中，（当与或重合时，取等号)，故．20．设，则．当时，命题显然成立，当时，在直径的一半圆上取点，使，，因，则可在另一半圆上取点，使，，由托勒密定理，有，即，但．21．设点在劣弧上，连，，，分别交小圆于点，，．连，，，过点作公切线．由，有，有．又，，有，即．同理，．对圆内接四边形应用托勒密定理，有，而，则，故．22．令，，．由平分，有，亦有，即．同理，．由，有，从而，注意到，有，即，即．在圆内接四边形中，应用托勒密定理，有，故，因此，．23．由，，，又，则，由托勒密定理之逆，知有外接圆．24．连，，由，且，有，亦有，即．在圆内接四边形中，应用托勒密定理，有，于是．又，，有，有．于是，故．习题B1．在弧上取点，使，连，，令，，，易证，即．对四边形，分别应用托勒密定理，有，．又在弧上取点，使，由，有对四边形应用托勒密定理，有．又由，有．于是，，由此即求得，．2．作的外接圆，分别截，于点，，．易证，即，，即，．对四边形应用托勒密定理，有，故．（*）同理，由托勒密定理，有．于是，即从而．由(*)式减去上式，有，即．又，，，故，其中等号当且仅当为的中心时取得．3．设四边形内接于以为圆心，半径为的圆，设点在弦，，，，，上的射影分别为点，，，，．记，，与，为与的面积与半周长，，为它们的内切圆半径．考虑含点的三角形，不妨设在内，分别对四边形，，，应用托勒密定理，并注意，，是的中位线，有．，故．考虑在三角形外部的情形，考虑，对四边形，，应用托勒密定理，有，故．在上述情形下，．对一般情形，所求内切圆半径之和等于，，，，并赋以一定的符号之和，这些符号只与点相对四边形的位置有关．因此，这个和与对角线的选取无关．4．设圆的圆心为，半径为，连，，在四边形中应用托勒密不等式，有，即)，故．同理，迭用托勒密不等式，有；；；，．将上述几个同向不等式相加，得，故．由托勒密不等式中等号成立的条件是当且仅当四边形，，，，都是圆内接四边形，由圆内接四边形性质，知，，但，则，从而，因此．同理，，即边形为正边形．反之，若为正边形，将其绕点逆时针方向旋转，知，，，，从而，，，．于是知也是正边形，因此有，．此时有．5．作，的公共直径，其中是的直径，是的直径，连交于点．显然，于是，，即．同理，，．在中应用托勒密定理，有．此时两边同乘以，即可得．6．首先证，．由切线长定理，有，，而，故．同理．连，，，，由与互补，知与互余，有，即．于是．同理，．令，，,,，．于是，，，，，，．对应用托勒密定理，有，即，亦即．即证．7．设，对，，应用三弦定理，则有，因，则．又在中，，则．又易知，即知，于是，即证．8．必要性：连，，知，均为等腰三角形，且，知，，，共圆，由托勒密定理，有，由得，即为正三角形，推得．充分性：由，知为正三角形，且由知，，，共圆，由托勒密定理，有，及，即得．9．对四边形应用托勒密定理，有，令，注意，有，即．同理，，，此三式相加即证．10．令，，．对四边形应用托勒密不等式，有，注意，有．同理。

．令，，，有，即知，（*）故，其中等号成立，即要（*）式中等号成立，亦即每次应用托勒密不等式中等号也成立．从而，，都是圆内接四边形，即为圆内接六边形且成立．即为正六边形时成立．11．连交于，连,．对及截线应用梅涅劳斯定理，有，即．令，有，即．对四边形应用托勒密定理，有．（*）注意及，有，（*）式变为．由，有，，有，注意，有，即，亦即，再由知，有．又，所以．即证12．设在内部，取，中点，，可证，，；，，分别共线，由，可证及，知，，，共圆，在此圆中应用托勒密定理，有．再由为正三角形即证得，若在上有．即证．13．设，，分别为顶点，，所对边长，下证所求最小值当为重心时取到，且最小值为．设是过，，的圆，中线交于（在内）和，令，，（为中点）．由为中点，知，到的距离相等．即，故．同理，．设为圆的半径，则，，，又设是所在平面上任意一点，由托勒密不等式，有，等号当且仅当在上成立，由（*）式，有．两边同加得，而，则，等号当且仅当段上，且在圆上成立，即等号当且仅当与重合时成立．14．充分性：由于，故，应用托勒密定理的逆定理，知，，，四点共圆．从而点，，，均在的外接圆上，即为圆内接多边形．必要性：以圆内接多边形的外接圆为单位圆建立复平面．设对应的复数为，其中，令，，则对对任意，有．综上即证．第四章 斯特瓦尔特定理应用习题A1．因，由斯特瓦特定理推论1，有，则，即，即．2．由平分，由斯特瓦特定理推论3，知，故．3．由斯特瓦尔特定理，有．设，则，则，解得（舍去）．4．由斯特瓦尔特定理，有，，又，则，故选（C）．5．由，由斯特瓦尔特定理推论5，有．由，，及，有．又由，有．于是有，由切割线定理即证．6．设为的所在直线上任一点，且，有斯特瓦尔特定理推论5，有．时，即得（Ⅰ）；当时，，即得（Ⅱ）当时，，即得（Ⅲ）；当时，，即得（Ⅳ）．7．作的平分线交于，则，对及边上点应用斯特瓦尔特定理推论3，有，即，即，又，从而，故为直角三角形．8．设为三条中线，，的交点，为所在平面上任一点．不妨设在内，连，，，，，对及点应用斯特瓦尔特定理，有．由，，则． ①在和中，为中点，应用斯特瓦尔特定理推论2，则，，此两式相减，并注意，，代入①式，得．显然，当异于时，横有．故到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心．习题Ｂ1．设的半径为，连，，，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有，而，，，于是，化简即得结论．2．对及边上的点，应用斯特瓦尔定理推论1，有，．又，于是而，则（其中），即，，又，且，故，即证．另证：设交圆于，连，，对四边形应用托勒密定理，有，由，，有，，而，则．注意到，有，即，又，从而，故．3．由及，有，从而，即，而3，则，对及边上的点应用斯特瓦尔特定理推论1，有，又在中，故，故．4．对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理或其推论1，有．解得（负值舍去）．于是，而，即，或，，故．5．由，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论5，有．对及边上点应用推论1，有，于是，故．令，上式表示轴上动点到两定点，的距离之和，当为线段与轴交点时，即时，取最小值．6．设凸四边形的对角线交点为．令，，，，，，，，．不妨设，则在中，有（斯特瓦尔特定理），于是，当且仅当，，，时等号成立，即为菱形．7．由于四个结论都与内心有关，不妨设平分交于，显然在上．设为所在平面内任一点，连，，，，注意到，，对及边上点应用斯特瓦尔特定理，有．又，有，，而，对及边上点应用斯特瓦尔特定理，有．将表达式代入上式，得．（Ⅰ）当与重合时，由①式即证（Ⅱ）当为外心时，，由①式即证．（Ⅲ）当为中心时，，等等．由①式即证、（Ⅳ）当为垂心时，，等等．由①式即证．8．设的中点为，则是平行四边形，延长至，使．设，，，，，．由，则．于是有或． ①在，，中分别应用斯特瓦尔特定理推论2，得，，．从前两式中消去，有，将①式代入得．再求得，故有或．这里是上一点，且满足．故，又，知，从而．故．第五章 张角定理及应用习题A1．延长交延长线于，过作交延长线于，则，．以为视点，对，，应用张角定理，有，即．又在中，，．于是，求得．2．显然是的平分线，以为视点，对，，和，，分别应用张角定理的推论，有，．注意到，，则，，故．3．过作的平行线交于，交于，则，，以为视点，对，，应用张角处理，有，即．而，，即有．又以为视点，对，，应用张角定理，有．由上面得到的两式相加，得即证．4．令，，以为视点，分别对，，及，，应用张角定理，有，．上述两式相除，有． ①在和中，由正弦定理，有，，又，有，从而由①式即得．5．令，以为视点，分别对，，及，，三点，应用张角定理的推论，有，．上述两式相减，有．由此即证．6．以为视点，分别对和应用张角定理，有，．注意到上述两式变为，，由此解得．7．设交于，交于，由蝴蝶定理知，以为视点，分别对和应用张角定理，有，，即，亦即．而，即．由此即证．8．设，则．考虑，对的视角，令，．在中应用正弦定理，有，，，从而．．故．由张角定理，知，，三点共线．习题B1．令，，，，，，，，，以为视点，分别对，，；，，；，，；，，应用张角定理，有，①，②，③，④ 由①+②-③-④，得，即．即证．2．以为视点，对，，应用张角定理的推论，有（因）．以为视点，对，，应用张角定理的推论，有．将此式代入前式，得．又由，知，而，则，又在为减函数，则，于是有．3．设，中点，且，，，三点共线．又设，由，知，于是，，即有，故由张角定理，知，，三顶共线．4．设的延长线分别与，交于，，连，，．由，有．又，知，有，则，，，共圆，可推知，故．同理，．令，则，有．11实用文档 专业整理。