广东省汕头市德华中学2021年高三数学理模拟试卷含解析.docx
7页
广东省汕头市德华中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数满足：对一切时， 则（ ）A． B． C． D． 参考答案：D2. 从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D城市游览，则不同的选择方案共有（ ）A．96种 B．144种 C．240种 D．300种参考答案：C考点： 排列、组合及简单计数问题．专题： 应用题；排列组合．分析： 本题是一个分步计数问题，先安排D城市的游览方法，甲、乙两人都不能参加D城市的游览方法有4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分步计数原理得到结果．解答： 解：先安排D城市的游览方法，有4种，再安排A城市的游览方法，有5种，再安排B城市的游览方法，有4种，再安排C城市的游览方法，有3种．根据分步计数原理，不同的选择方案有4×5×4×3=240种，故选C．点评： 本题考查分步计数问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果，属于中档题．3. 已知，则（ ）A． B． C． D．参考答案：B4. 已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝()log20.3，则( )A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b参考答案：C5. 已知函数构造函数，定义如下：当，那么（ ）A．有最小值0，无最大值 B．有最小值-1，无最大值C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值参考答案：B6. 三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=4,AA1=6，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A．68π B．32π C．17π D．164π参考答案：A7. 已知两条直线和互相平行，则等于( )A．1或-3 B．-1或3 C．1或3 D． -1或-3参考答案：A略8. 已知F1 、F2分别是双曲线（>0, >0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若,且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：A9. 设函数,则下列结论正确的是 A.f(x)的图像关于直线对称 B.f(x)的图像关于点对称C.把f(x)的图像向左平移个单位,得到一个偶函数的图像D.f(x)的最小正周期为,且在上为增函数参考答案：C略10. 圆C：，点P为直线上的一个动点，过点P向圆C作切线，切点分别为A、B，则直线AB过定点（ ）A． B． C． D． 参考答案：B不妨设，画出图象如下图所示，根据直角三角形射影定理可知，即直线方程为，四个选项中，只有选项符合，故选. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，且，则的最小值为 参考答案：12. 已知定义在R上的函数f（x）满足①图象关于（1，0）点对称；②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③x∈[﹣1，1]时，f（x）=，则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为 ．参考答案：5【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由①可得f（x）+f（2﹣x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[﹣3，﹣1]上的解析式，画出f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即可得到零点的个数．【解答】解：由题意可得f（x）+f（2﹣x）=0，当1≤x≤2时，0≤2﹣x≤1，f（2﹣x）=cos（2﹣x）=﹣cosx，则f（x）=﹣f（2﹣x）=cosx；当2＜x≤3时，﹣1≤x＜0，f（2﹣x）=1﹣（2﹣x）2，则f（x）=﹣f（2﹣x）=（2﹣x）2﹣1．由②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），即为f（x）=f（﹣x﹣2），当﹣3≤x≤﹣2时，0≤﹣2﹣x≤1，f（﹣2﹣x）=cos（﹣2﹣x）=﹣cosx，则f（x）=﹣f（﹣2﹣x）=﹣cosx；当﹣2＜x≤﹣1时，﹣1≤﹣2﹣x＜0，f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2，则f（x）=f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2．y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点即为y=f（x）和y=（）|x|在[﹣3，3]的交点个数．作出y=f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即有5个零点．故答案为：5．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数方程的转化思想，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．13. 已知为线段上一点，为直线外一点，满足，,,为上一点，且，则的值为__________参考答案：14. 设双曲线的右顶点，轴上有一点，若双曲线上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围是 ▲ 参考答案：15. 给定区域：,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______个不同的三角形. 参考答案：略16. 方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x= ．参考答案：5【考点】对数的运算性质．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．17. 已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= ．参考答案：8【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）利用数据统计图求出该班有40人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数．（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3．…（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 …，，，，…所以ξ的分布列为X1617181920P所以．所以ξ的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数据统计图的合理运用．19. 已知数列{an}满足,，数列{bn}满足.（Ⅰ）求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.【详解】解：（Ⅰ）当时，，故.当时，，则 ，，数列是首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ， ，.【点睛】（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法 得出（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。
20. 如图：在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求证：平面ACE⊥平面CDE；（2）段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE，进而得到AE⊥平面CDE，即可证明平面ACE⊥平面CDE；（2）段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE， =，设F为线段DE上的一点，且=．过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．可得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE．【解答】（1）证明：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，又AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面CDE；（2）解：段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE， =．下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=．过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=CD，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB．又CD=3AB，∴MF∥AB，MF=AB，∴四边形ABMF是平行四边形，∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．∴AF∥平面BCE．21. （本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人. （Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数； （Ⅱ）若等级分别对应分,分,分,分,分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有。
