理论力学－刘军课件 第六章 运动学基础.ppt

第6章 运动学基础6.1 运动学的基本概念运动学的基本概念6.2 点的运动学点的运动学 6.3 刚体的平动刚体的平动 6.4 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动6.1 运动学的基本概念 运动学只从几何角度来研究物体的运动运动学只从几何角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度如轨迹、速度和加速度等等)，而不研究引起物体运动的物理原因，而不研究引起物体运动的物理原因(如力、质量等如力、质量等)因此，运因此，运动学是研究物体运动的几何性质的学科动学是研究物体运动的几何性质的学科6.2.1 点的运动矢量表示法6.2 点的运动学点的运动学1点的运动方程 在参考坐在参考坐标标系上任取某确定的点系上任取某确定的点O为为坐坐标标原点，原点，则动则动点的位置可用点的位置可用原点至原点至动动点的矢径点的矢径r表示当动动点点M运运动时动时，矢径，矢径r是是时间时间的的单值连续单值连续函函数，即数，即 上式称为用矢量表示的点的运动方程动点上式称为用矢量表示的点的运动方程动点M在运动过程中在运动过程中,其其矢径矢径r的末端在空间描绘出的曲线，称为动点的末端在空间描绘出的曲线，称为动点M的运动轨迹的运动轨迹动点在动点在t t时间内的平均速度可表示为时间内的平均速度可表示为2 2点的运动速度点的运动速度 点的速度可用矢量表示，设动点在点的速度可用矢量表示，设动点在t t 时刻的位置为时刻的位置为M点，经过点，经过t t后，后，即在即在t+t时刻的位置为时刻的位置为M。

如图如图所示动点在所示动点在t时间内发生的位移为时间内发生的位移为动画：雷达与飞机 即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数它是一个矢量即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数它是一个矢量,其其方向沿动点的矢端曲线方向沿动点的矢端曲线(即动点轨迹即动点轨迹)的切线，并与动点运动的方向一的切线，并与动点运动的方向一致在国际单位制中，速度的单位为致在国际单位制中，速度的单位为m/s3点的运动加速度点的运动加速度由数学的极限概念，动点在由数学的极限概念，动点在t 时刻的瞬时速度可对上式取极限，即时刻的瞬时速度可对上式取极限，即 同样，由数学的极限概念，在同样，由数学的极限概念，在t 时刻时刻动点的加速度可表示为动点的加速度可表示为 设动点在设动点在 t 时刻的速度为时刻的速度为v,经过经过 t后后,即在即在 t+t 时刻的速时刻的速度为度为v动点在t 时间内速度的改变为时间内速度的改变为v=v-v则在t 时间时间内的平均加速度内的平均加速度a可表示为可表示为 即动点的加速度等于它的速度即动点的加速度等于它的速度v对时间的一阶导数，也等于矢径对时间的一阶导数，也等于矢径r对时间对时间的二阶导数。

它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速的二阶导数它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速度矢端运动的方向在国际单位制中，加速度的单位为度矢端运动的方向在国际单位制中，加速度的单位为m/s2设动点设动点M 在空间做曲线运动，过固定点在空间做曲线运动，过固定点O作如图所示的直角坐作如图所示的直角坐标系标系Oxyz则动点在则动点在t 时刻的位置时刻的位置M 可用它的三个直角坐标可用它的三个直角坐标 x,y,z 表示，表示，如图所示如图所示1点的运动方程 当点当点M运动时，这些坐标一般可运动时，这些坐标一般可表示为时间表示为时间t 的单值连续函数，即的单值连续函数，即 6.2.2 点的运动直角坐标表示法点的运动直角坐标表示法，1点的运动方程 在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运动方程可简化为动方程可简化为2点的运动速度点的运动速度如可用直角坐标表示，即点的运动速度如可用直角坐标表示，即 上式消去时间上式消去时间t，可得轨迹方程为，可得轨迹方程为 上式称为点上式称为点M以直角坐标表示点的运动方程。

从形式上可以看出，上式以直角坐标表示点的运动方程从形式上可以看出，上式也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数t 而直接得到而直接得到比较以上两式，可得比较以上两式，可得 这就是动点速度的直角坐标表示可见，动点的速度在直角坐标这就是动点速度的直角坐标表示可见，动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数动点动点M的速度矢可写为的速度矢可写为其方向为其方向为速度的大小为速度的大小为 3点的运动加速度为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得 加速度矢量亦可表示为加速度矢量亦可表示为 可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间的可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数加速度的大小和方向余弦一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数加速度的大小和方向余弦为为6.2.3 点的运动自然坐标表示法1弧坐标动点动点M的运动用自然法表示，动点的运动用自然法表示，动点M在轨迹上的位置由动点到原点在轨迹上的位置由动点到原点的弧长的弧长s来确定，称为动点来确定，称为动点M的弧坐标。

当动点的弧坐标当动点M 运动时，运动时，s 随时间而随时间而变化，是时间的单值连续函数，即变化，是时间的单值连续函数，即上式称为点沿轨迹的运动方程上式称为点沿轨迹的运动方程若以若以表示切线的单位矢量，表示切线的单位矢量，n表示表示主法线的单位矢量，以主法线的单位矢量，以b表示副法线表示副法线的单位矢量，其方向由右手螺旋法则的单位矢量，其方向由右手螺旋法则确定，即确定，即 2自然轴系 以点以点M为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点线在点M的自然坐标系的自然坐标系过点过点M并与切线垂直的平面称为法平面，在法平面内过点并与切线垂直的平面称为法平面，在法平面内过点M的所有直线都的所有直线都和切线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线法平面内过点和切线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线法平面内过点M与主法线垂直的法线称为副法线与主法线垂直的法线称为副法线3点的运动速度 点的速度点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示显然是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示显然,可将动点的速度矢写成如下的形式可将动点的速度矢写成如下的形式 速度的大小等于弧坐标对时间速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数，即的一阶导数，即 如果如果ds/dt0，则速度与，则速度与的正向相同，弧坐标随时间而增大。

反之，的正向相同，弧坐标随时间而增大反之，速度与速度与的正向相反的正向相反4点的运动加速度速度对时间求一阶导数，得速度对时间求一阶导数，得 右边两项分别称为切向加速度和法向加速度前者表示速度大小变右边两项分别称为切向加速度和法向加速度前者表示速度大小变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献曲率（曲率半径的倒数）曲率（曲率半径的倒数）的定义为的定义为由上图可知由上图可知 即即 因而因而这样法向加速度可写为这样法向加速度可写为 由此可由此可见见，法向加速度，法向加速度的大小等于点的速度平方除以曲率半径，的大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心按以上分析，加速度可以写为按以上分析，加速度可以写为 加速度的大小可写为加速度的大小可写为，其方向由其方向由a与主法线方向与主法线方向n的夹角的夹角来确定来确定，它的正切为，它的正切为【例例6-16-1】半径为半径为r的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心C则在则在与轨道平行的直线上运动。

设轮心与轨道平行的直线上运动设轮心C的速度为一常量的速度为一常量vC,试求轮缘上试求轮缘上一点一点M的运动轨迹、速度和加速度的运动轨迹、速度和加速度解：以点解：以点M第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点作为坐标的原点，建立作为坐标的原点，建立Oxy坐标系，点坐标系，点M的坐标为的坐标为 这就是点的运动方程，其运动的轨这就是点的运动方程，其运动的轨迹为摆线迹为摆线(或称旋轮线或称旋轮线)动点的速度为动点的速度为 此时，速度的大小和方向分别可写为此时，速度的大小和方向分别可写为 动点的加速度为动点的加速度为 加速度加速度的大小和方向分别可写为的大小和方向分别可写为，可见，动点可见，动点M的加速度方向指向轮心的加速度方向指向轮心C【例例6-26-2】已知弧已知弧BC的半径为的半径为R，摇杆以匀角速度，摇杆以匀角速度绕绕O轴转动，当运动开始时，轴转动，当运动开始时，摇杆在水平位置试分别用直角坐标法和自然法给出点摇杆在水平位置试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求出的运动方程，并求出其速度和加速度其速度和加速度解：解：(1)(1)直角坐标法直角坐标法求导后可得点求导后可得点M速度和加速度：速度和加速度：(2)(2)自然坐自然坐标标法：法：于是点于是点M速度和加速度分别为速度和加速度分别为 证明：设加速度为证明：设加速度为a,则经过时间则经过时间t 后后,动点动点A走过的弧长和速度分别为走过的弧长和速度分别为【例例6-36-3】动点动点A沿如图所示的圆周做匀加速圆周运动。

已知圆周半径为沿如图所示的圆周做匀加速圆周运动已知圆周半径为R，初速度为零若点的全加速度与切线间的夹角为初速度为零若点的全加速度与切线间的夹角为，并以，并以角表示点走过的圆角表示点走过的圆弧弧s所对应的圆心角，试证明：所对应的圆心角，试证明：tantan=2=2动点动点A的法向加速度可表示为的法向加速度可表示为动点动点A的全加速度与切线间的夹角的全加速度与切线间的夹角可表示为可表示为这样原问题的结论成立这样原问题的结论成立例例6-4】如图所示的平面机构中，两杆的运动通过套筒如图所示的平面机构中，两杆的运动通过套筒M而联系起来，初始而联系起来，初始时杆时杆O1M与点与点O成一直线已知成一直线已知OO1=O1M=r，试求套筒，试求套筒M的运动方程以及它的的运动方程以及它的速度和加速度速度和加速度解：解：(1)(1)自然法取套筒初始位置自然法取套筒初始位置M0为弧坐标为弧坐标s的原点，以套筒的运动方向为的原点，以套筒的运动方向为弧坐标弧坐标s的正向，由图可知的正向，由图可知上式可写为上式可写为 这就是用自然坐标表示的套筒这就是用自然坐标表示的套筒M运动方程上式对时间求一阶导数，可得运动方程上式对时间求一阶导数，可得套筒套筒M的速度的速度 套筒套筒M的切线和法向加速度分别为的切线和法向加速度分别为 套筒套筒M的加速度大小为的加速度大小为(2)直角坐标法。

直角坐标法选取固定直角坐标系选取固定直角坐标系Oxy，则有，则有 套筒套筒M在直角坐标系中的运动方程在直角坐标系中的运动方程，上式对时间求一阶导数，可得套筒上式对时间求一阶导数，可得套筒M的速度的速度套筒套筒M的速度的大小和方向分别可表示为的速度的大小和方向分别可表示为套筒套筒M的加速度在两个坐标轴上的投影的加速度在两个坐标轴上的投影 套筒套筒M的加速度的大小和方向分别可表示为的加速度的大小和方向分别可表示为 显然，两种方法的结果完全一致，本题用自然坐标法较简便，且物理概念清显然，两种方法的结果完全一致，本题用自然坐标法较简便，且物理概念清晰6.3 刚体的平动刚体的平动6.3.1 刚体平动的定义 刚体运动时，如果其上任一直线始终保持与原来的位置平行，即该直线刚体。