电子科技大学硕士研究生601数学分析考试大纲.pdf

考试科目601 数学分析考试形式笔试（闭卷）考试时间180 分钟考试总分150 分一、总体要求主要考察学生对《数学分析》的基本知识、基本理论和基本技能的掌握情况以及用数学 分析的理论与方法分析问题、解决问题的能力.二、内容1.集合与函数1） 实数集R、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、单调有界性定理、闭区间套定理、Bolzano-Weierstrass 定理、Cauchy 收敛原理.2）2R上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、Rn上的闭矩形套定理、Heine-Borel 定理(有限覆盖定理)以及上述概念和定理在Rn上的推广.3） 函数、映射、变换等概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.2.极限与连续1） 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2） 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系） ，极限1lim(1)n nen及其应用.3）一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性 质 、 迫 敛 性 ） ， Heine 归 结 原 则 和 Cauchy 收 敛 准 则 ， 两 个 重 要 极 限sin10lim1, lim(1)xx xxxxe 及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4） 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性） ，有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.3.一元函数微分学1）导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2）微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor公式(Peano 余项与 Lagrange 余项).3）一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.4.多元函数微分学1） 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与 Taylor 公式.2） 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3） 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4） 极值问题（必要条件与充分条件） ，条件极值与 Lagrange 乘数法。

5.一元函数积分学 1）原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法） 、 有理函数积分：(cos ,sin )Rxx dx型，2( ,)R xaxbxc dx型.2）定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：iix） 、可积函数类.3）定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理） 、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4） 无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、( )f x非负时 ( ) af x dx的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法） 、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5）微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积） ，其他应用6.多元函数积分学1）二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2）三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3）重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4）第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.5）第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.6）曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，Gauss 公式、Stokes 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.7）含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.7.无穷级数1）数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的 Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet 判别法.2）函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法） 、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3）幂级数幂级数概念、Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数的和函数的求法，函数的幂级数展开.4）Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2及 2l周期函数的 Fourier 级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue 定理、按段光滑函数的 Fourier 级数的收敛性定理.三、题型及分值比例填空题： （15%） 简答题： （55%） 计算题： （30%）文章来源：电子科大考研网 ，更多资料请关注文彦考研论坛。