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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟211一、选择题问题:1. 关于二次型下列说法正确的是______A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为2答案:C[解析] 二次型的矩阵 所以r(A)=1，可见C选项正确，而A、B、D三项都不正确，故选C 问题:2. 二次型的标准形可以是______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 用配方法，有 可见二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0，故选A 问题:3. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(2x1+3x2+x3)2-5(x2+x3)2的规范形为______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 方法一：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 则该二次型矩阵为由 可知，矩阵A的特征根为12，-6，0因此该二次型的正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，故选B 方法二：配方法 可知p=1，q=1，故选B 注意，在本题中若令 而认为该二次型的规范形是就不正确了，因为行列式这说明线性变换(1)不是非退化的线性变换。

问题:4. 下列矩阵中A与B合同的是______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 合同的定义：CTAC=B，矩阵C可逆合同的必要条件是r(A)=r(B)且行列式|A|与|B|同号A，B合同的充要条件是A与B的正、负惯性指数相同；A与B的正、负特征值的个数相同 A选项的矩阵秩不相等B选项中行列式正、负号不同，故排除C选项中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数，因此A和B合同而D选项中，A的特征值为1，±2，B的特征值为-1，-2，-2，因此xTAx与xTBx的正、负惯性指数不同，不合同 两个实对称矩阵合同的充要条件是正、负惯性指数相同，即正、负特征值的个数相同因此，要判断两个实对称矩阵是否合同，只需求出特征值，比较正、负惯性指数即可 问题:5. 设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则A与C______A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价、合同且相似答案:D[解析] 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AEij=B，EijB=C， 故C=EijB=EijAEij。

因故故A与C等价、合同且相似，故选D问题:6. 设矩阵则A与B______A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似答案:B[解析] 方法一：由|λE-A|=0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1，从而A与B不相似 又r(A)=r(B)=2，且A，B有相同的正惯性指数，因此A与B合同 方法二：因为tr(A)=2+2+2=6，tr(B)=1+1=2≠6，所以A与B不相似(不满足相似的必要条件)又|λE-A|=λ(λ-3)2，|λE-B|=λ(λ-1)2，A与B是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A与B合同 二、填空题问题:1. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为______答案:2[解析] 方法一：因为 于是，二次型的矩阵为 由初等变换得 从而r(A)=2，即二次型的秩为2 方法二：因为 其中所以二次型的秩为2问题:2. 设则二次型对应的矩阵是______答案:[解析] 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。

因此对应的矩阵为 问题:3. 二次型的规范形是______答案:[解析] 二次型的矩阵特征多项式 所以矩阵A的特征值是2，6，-4，即正交变换下的二次型的标准形是因此其规范形是 问题:4. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为______答案:[解析] 因为矩阵A的秩是1，因此矩阵A有两个0特征值，又因为A的各行元素的和为3，因此A(1，1，1)T=3(1，1，1)T故f的特征值为3，0，0所以标准形为 经过正交变换之后得到的矩阵与原矩阵是相似的，二次型在正交变换下的标准形是由二次型的特征值构成的 三、解答题问题:1. 设二次型经正交变换化为求a，b的值及所用的正交变换答案:解：二次型及其标准形的矩阵分别是 由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似由1+1+1=3+3+b得b=-3对λ=3，则有 由(3E-A)x=0，得特征向量α1=(1，-1，0)T，α2=(1，0，-1)T 由(-3E-A)x=0，得特征向量α3=(1，1，1)T。

因为λ=3是二重特征值，对α1，α2正交化有 单位化，有 令 经正交交换x=Cy，二次型化为 问题:2. 已知二次型的秩为2 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解 答案:解：(Ⅰ)二次型矩阵已知二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 因此a=0 (Ⅱ)根据(Ⅰ)中结论a=0，则由特征多项式 得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0 当λ=2，由(2E-A)x=0得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T 当λ=0，由(0E-A)x=0得特征向量α3=(1，-1，0)T 容易看出α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： 那么令则在正交变换x=Qy下，二次型f(x1，x2，x3)化为标准形 (Ⅲ)由得 所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解为k(1，-1，0)T，其中k为任意常数 问题:3. 已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

答案:解：二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值 所以3是A的特征值，(1，2，1)T是与3对应的特征向量；-1也是A的特征值，(1，-1，1)T是与-1对应的特征向量 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有 由方程组解出λ=0的特征向量是(1，0，-1)T 那么所以 因此 令 则经正交变换x=Qy，有 问题:4. 设矩阵有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵答案:解：因为3是A的特征值，故|3E-A|=8(3-y-1)=0，解得y=2于是 由于AT=A，要使(AP)T(AP)=PTA2P=Λ，而是对称矩阵，即要求A2～Λ，故可构造二次型xTA2x，再将其化为标准形由配方法，有 其中即 于是 问题:5. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为且Q的第三列为 (Ⅰ)求A； (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

答案:解：(Ⅰ)由题意知QTAQ=Λ，其中则A=QΛQT，设Q的其他任一列向量为(x1，x2，x3)T因为Q为正交矩阵，所以 即x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α1=(-1，0，1)T，α2=(0，1，0)T把α1单位化得所以 则 (Ⅱ)证明：因为(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵 问题:6. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形 答案:解：(Ⅰ)由r(ATA)=2可得 所以a=-1 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，令矩阵 解得矩阵B的特征值为λ1=0，λ2=2，λ3=6 由(λiE-B)x=0，得对应特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分别为 η1=(-1，-1，1)T，η2=(-1，1，0)T，η3=(1，1，2)T 将η1，η2，η3单位化可得 令 则正交变换x=Qy可将原二次型化为[解析] 由于实对称矩阵是可以正交相似对角化的，即存在正交矩阵Q及对角矩阵Λ，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ。

而求二次型的合同标准形就是求可逆矩阵C以及对角矩阵Λ1，使得CTAC=Λ1，对比可知，将可逆矩阵C取成Q，此时Λ1就等于Λ这里正交矩阵Q的计算方法与实对称矩阵进行正交相似对角化时的计算方法完全一致。