第六章-广义逆矩阵.doc

第六章 广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵-逆及矩阵Moore-Penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin逆的基本性质§6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题设为复维向量空间，为复矩阵全体设矩阵，考虑线性方程组 （6-1）其中，为给定的维向量，为待定的维向量定义1 若存在向量满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的众所周知，当为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解，其中是的逆矩阵当为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求，使得 （6-2）成立，其中代表任意一种向量范数，。

上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式，其中，是某个矩阵？ 这个矩阵是通常逆矩阵的推广1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念定义2 设矩阵，若存在矩阵满足下列Penrose方程（1）；（2）；（3）；（4）则称为的Moore-Penrose 逆，记为例1 由Moore-Penrose逆的定义不难验证（1） 若，则；（2） 若，则，其中；（3） 若，其中是可逆矩阵，则；（4） 若是可逆矩阵，则定理1 对于任意矩阵，其Moore-Penrose逆存在并且唯一证明 存在性设矩阵有奇异值分解，其中，为酉矩阵，，的正奇异值为，容易验证满足定义2中的四个Penrose方程，所以，总是存在的设均满足定义2中的四个Penrose方程，则所以是唯一的更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方程的广义逆定义3 设矩阵，若矩阵满足Penrose方程中的（），（），，（）等方程，则称为的-逆，记为由定义3与定义1可知，因为对于任意都有为的-逆，所以利用定理1可知总是存在的。

但是除了是唯一确定的之外，其余各种-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将的-逆全体记为如果按照满足Penrose方程个数进行分类，-逆矩阵共有种但应用较多的是以下5种：，其中，最为基本，最为重要称为自反广义逆，称为最小二乘广义逆，为极小范数广义逆例2 设矩阵，其中为可逆矩阵，且，则容易验证例3 设矩阵1）若，此时为可逆矩阵，容易验证;（2）若，此时为可逆矩阵，容易验证除了以上广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵1967年，Erdelyi给出如下群逆的概念定义4 设矩阵，若矩阵满足（1）；（2）；（3）；则称为的群逆，记为从定义4可以看出，群逆是一个特殊的，虽然总是存在的，但是这种群逆未必存在为了介绍Drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念定义5 设矩阵，称满足的最小非负整数为的指标，记作若矩阵是非奇异的，则，若矩阵是奇异的，则1958年，Drazin给出如下Drazin逆的概念定义6 设矩阵，其指标为，若存在矩阵满足（1）；（2）；（3）；则称为的Drazin逆，记作易见，若矩阵的指标为，则的Drazin逆就是群逆§6.2 -逆的性质与计算由于-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出-逆的基本性质与计算方法。

6.2.1 -逆的存在性定理1设矩阵，其秩为若矩阵的等价标准形为，其中分别为阶和阶可逆矩阵，则矩阵的所有-逆的集合为证明 设矩阵为的任意一个-逆，则其满足因为分别为阶和阶可逆矩阵，上式等价于令，则由上式可以推出，而是任意的，故，即因此，此定理结论成立由此定理的证明过程可知矩阵的-逆一定存在，但由于的任意性得矩阵的-逆不唯一6.2.2 -逆的基本性质关于-逆的基本性质，有如下定理定理2 设矩阵，，则（1）；（2）若矩阵，则，并且的-逆是唯一的；（3），其中；（4）设分别为阶和阶可逆矩阵，则；（5）；（6）与都是幂等矩阵，且证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立5） 由于，所以结论成立6） 由于，，所以，与都是幂等矩阵又由于，所以，同理，因此，结论成立6.2.3 -逆的计算定理1给出利用等价标准形求-逆的方法例1 已知矩阵，求，并具体给出一个解答 由于，现令，，所以矩阵的等价标准形为，利用定理1可得；令均为零矩阵时，得到一个最简单的-逆如下：§6.3 Moore-Penrose广义逆的性质与计算由于Moore-Penrose广义逆在研究线性方程组解的表达式问题中起着重要作用，因此本节将介绍Moore-Penrose广义逆的基本性质与计算方法。

6.3.1 Moore-Penrose广义逆的计算利用6.1节定理1可知，Moore-Penrose广义逆总是存在的，并且给出了利用奇异值分解计算Moore-Penrose广义逆的方法下面给出利用满秩分解计算Moore-Penrose广义逆的方法定理1设矩阵，其满秩分解为，其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，则证明 因为，，所以与皆为可逆矩阵令，不难验证满足Penrose的四个方程，所以推论1 设矩阵，则（1）若，则；（2）若，则；（3）若有满秩分解，其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，则例1 已知矩阵，利用矩阵奇异值分解求矩阵的Moore-Penrose逆解答 由于，所以的特征值为，，，因此，的正奇异值为，特征值、、对应的单位特征向量分别为，，所以令，则令，则的奇异值分解为，于是例2 设矩阵，利用满秩分解求矩阵的Moore-Penrose逆解答 因为矩阵的满秩分解为 ，并且，，于是，故6.3.2 Moore-Penrose广义逆的基本性质利用6.1节定理1可知，Moore-Penrose广义逆是唯一的，因此，它具有与通常逆矩阵相似的性质下面给出Moore-Penrose广义逆的一些基本性质，其证明可以利用Moore-Penrose广义逆的定义或定理1直接推出。

定理2 设矩阵，则 （1）； （2），； （3），其中，；（4）；（5）； （6），； （7）若，均为酉矩阵，则； （8）若，则，若，则；尽管与有一些相近的性质，但它毕竟是广义逆矩阵，因此逆矩阵的一些性质对并不成立例3 举例说明对Moore-Penrose广义逆矩阵，下列结论未必正确1）；（2），其中为正整数；（3）若为可逆矩阵，解答 （1）设，，则，因此因为，所以利用推论1的（1）可知；因为，所以利用推论1的（2）可知；于是，可见2）取，其满秩分解为，其中，利用推论1可得，，于是，由推论1的（3）可得，因此，，而，由此可见3）取，，由于，所以于是，利用推论1的（2）可得，而，，于是，由此可见§6.4 广义逆矩阵与线性方程组广义逆矩阵与线性方程组有着极为密切的关系本节将分别介绍-逆及Moore-Penrose逆性方程组求解问题中的应用6.4.1 -逆性方程组求解问题中的应用定理1 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是；且性方程组相容的情况下，其通解为 ， （6-3）其中为任意向量证明 必要性设线性方程组（6-1）有解，且为其解，则。

充分性令，则满足等式（6-1），因此线性方程组（6-1）相容下面首先证明性方程组（6-1）相容的情况下，等式（6-3）是其解由于线性方程组（6-1）是相容的，所以存在使得于是其次证明，对于线性方程组（6-1）的任意一解，都存在，使得解表示成（6-3）的形式现取，则所以此定理的结论成立例1 利用矩阵-逆判断线性方程组是否相容，如果相容，求其通解，其中， 解答 由于现令，，则系数矩阵的等价标准形为，由6.3节定理1得系数矩阵的一个-逆为，容易验证等式成立，所以利用定理1可知此线性方程组是相容的；并且其通解为，其中为任意常数6.4.2 Moore-Penrose逆性方程组求解问题中的应用利用-逆可以解决判定线性方程组（6-1）是否相容及性方程组相容情况下给出通解的问题由于Moore-Penrose逆是一种特殊的-逆，所以相应可得下述定理定理2 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是；且性方程组相容的情况下，其通解为 ， （6-4）其中为任意向量由等式（6-4）可知，如果线性方程组（6-1）相容，则当且仅当，即时，其解是唯一的。

在实际问题中，常需要求出线性方程组的无穷多个解中范数最小的解，即给出如下定义定义1 设线性方程组（6-1）有无穷多个解，则称无穷多个解中范数最小的解，即为线性方程组（6-1）的极小范数解（本节所涉及的范数均指2-范数）定理3 相容线性方程组（6-1）的唯一极小范数解为证明 对于等式（6-4）给出的线性方程组（6-1）的通解，有由此可见，，即是相容线性方程组（6-1）的极小范数解；唯一性设是相容线性方程组（6-1）的极小范数解，则，且存在，使得，与前面推导过程类似，有，从而可得，即，从而当线性方程组无解时，通常希望求出它的最小二乘解（见等式（6-2））利用Moore-Penrose逆可以解决这一问题定理4 不相容线性方程组（6-1）的全部最小二乘解为 （6-5）其中为任意向量证明 由等式（6-5）可求得对任意的，有 ，于是由此说明等式（6-5）给出的都是的最小二乘解又设是的任一最小二乘解，则有从而，即可见是线性方程组的解由于，利用定理2可知，线性方程组相容，且通解为其中为任意向量。

故其中为任意向量可见等式（6-5）给出了的全部最小二乘解由定理4的证明过程可得如下结论推论1 是不相容线性方程组（6。