高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 妙用空间向量求空间距离素材 北师大版选修2-1.doc

妙用空间向量求空间距离通过引入空间向量，用向量代数处理立体几何问题，体现了数与形的有机结合，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何的独到之处空间距离有：1、两点之间距离；2、点线距离；3、点面距离；4、线线（异面直线）距离；5、线面（线‖面）距离；6、面面（面‖面）距离，其中，两点之间距离、点线的距离易求，线面距离、面面距离都可转化为点面距离，下面主要介绍用空间向量求异面直线的距离和点面距离一、 求异面直线的距离例1 如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离ABCDMD1A1B1C1Nxyz图1分析：建立坐标系，求、的单位法向量，再求在单位法向量上的射影解：以A为原点，以AD、AB、AA1为坐标轴，建立如图1所示的直角坐标系，则M（3，2，0），N（0，4，1），即=（-3，2，1），=（0，4，-2）设MN、A1B公垂线的方向向量为n（x，y，z），则有→令y=1，则z=2，x=即n=（，1，2），|n|=又=（-3，-2，2），在n上的射影的长度为→d====即异面直线MN与A1B的距离为点评：利用向量法求公垂线段长的关键是利用公垂线的定义及向量共线和向量垂直的条件建立方程组求出公垂线段的向量。

二、 求点到平面的距离PnMα图2如图2，平面α的法向量为n，P是平面α外一点，点M为平面α内任一点，则P到平面α的距离d就是在向量n方向上射影的绝对值，即d=例2 如图3，正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且CG=2，点E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离ABECDyFxz图3 G分析1：利用在平面EFG的单位法向量n上的射影，求点B到平面EFG的距离，即d= ||·cos<，n>|解法1：建立如图3所示的坐标系，则C（0，0，0），A（4，4，0），B（4，0，0），D（0，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）=（0，2，0）， =（4，2，-2）， =（-2，2，0）→设平面GEF的法向量n=（x，y，z），则有→即令x=1，则y=1，z=3，∴n=（1，1，3）点B到平面GEF的距离为d=||·cos<，n>|=|·|==分析2：用两点间距离公式求，即求出过B垂直于平面EFG的向量，它的模长就是点B到平面EFG的距离→解法2：建立如图3直角坐标系，同解法1，=（0，2，0）， =（-2，4，0），=（-4，0，2）， =（4，2，-2）， =（-2，2，0）设向量⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x、y、z，使=x+y+z，即=x（0，2，0）+y（-2，4，0）+z（-4，0，2）=（-2y-4z，2x+4y，2z）由⊥平面GEF得⊥，⊥，于是·=0，·=0即，即，→解得∴=（-2y-4z，2x+4y，2z）=（，，）∴||==即点B到平面GEF的距离为点评：用向量法求点到平面的距离，垂线段常常不必作出来，只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量。

任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低3。