偏微分方程的方法.pdf

丘成桐院士演講:偏微分方程的方法時 間: 81年5月29日 地 點:國立中央大學數學系 記 錄:鄭宗琳我今天要用通俗一點的方式來講偏微分方程的方法; 首先, 什麼是偏微分方程呢? 其實微分方程有好幾種, 基本上是由物理上的定律或基本物理到應用時的方程; 有些則來自工程或幾何上; 較靜態者尚有源自數論的是以不同的學科產生不同的微分方程微分方程的來源直接影響方法; 由於微分方程自己的方法可以解決很多物理上的問題, 所以很多物理學家或研究工程方面的人會找數學家來討論微分方程 但是, 有時我們無法單靠自己的想像和抽象的方法來解決那個微分方程的定律所支配的物理 (或幾何) 的現象, 因為微分方程的方法大半和其來源有關, 所以了解物理 (或幾何) 現象有助於解決該微分方程 微分方程的方法無法完全由數學用抽象的方法導出一) 動態 (dynamics) 和靜 態 (statics) 方程一般而言, 微分方程可分為動態方程和靜態方程 動態方面, 比如說 Navier Stoke’s方程或 Euler 方程, 一般動態方程是很難的問題, 然而我們天天遇到的都是動態問題 我個人對於靜態方面的問題較熟悉, 靜態問題主要在研究有些東西在平衡 (equilibrium)時的狀況。

動態方程有時間因素在裡頭, 如下列方程 (1):ft= F(t,f)(1)這方程雖和時間有關, 但只要令 ft= 0,則可得到一個新的方程, 這是較簡單的設法有時候, 我們毋須如此做, 可以引進一 「極限環」(limit cycle) 的觀念: 設有一個軌道 (or-bit), 當 ft6= 0 時, 若時間夠長, 這軌道會不停的轉; 如果它慢慢地向某一軌道趨近, 如圖 (a), (1) 變成一個和時間無關的方程, 此方程就機率上而言只和 f 本身有關 吾人可由此極限環得到一個平衡狀態的方程12數學傳播十七卷二期民82年6月(a)研究動態方程十分有助於了解平衡的狀態, 有時在研究平衡狀態的方程時, 吾人可技巧性地加入時間的因素 舉例而言, 在研究Laplace 方程 △u = 0 時; 更一般些, 在研究△u = ρ (即 Poisson 方程) 時, 我們可以有許多解決之道, 但有時可引進 「熱方程」(heatequation)∂u ∂t= △u 來研究 Laplace 方程,這使得我們可以了解 u 較整體 (global) 的行為; 甚至可引進 「波動方程」(wave equa-tion)∂2u ∂t2= △u 來研究 Laplace 算子本身。

在加進∂u ∂t和∂2u ∂t2這兩個算子之後, 我們獲致一些在微分幾何上意料之外的結果比如說, 在古典微分幾何問題中研究一個微分流形 (Differential manifold) 時, 我們很喜歡研究 「譜」(Spectrum), 即△ui= −λiui, 其中 λi為域 (domain) 的譜2)例如打鼓時, 固定其邊, 觀察它振動的方法; 其基本振盪的方法由幾個特定的微分方程所支配 Laplace 方程是在 (2) 中 λi= 0的情形 現在研究譜的主要方法基本上是由研究 「熱方程」 及 「波動方程」 而來的, 也就是我們不看 (2), 而是看∂u ∂t= △u 的基本解(Foundamental Solution) 的變化 三十幾年來, 這是我們研究譜主要的工具 當我們研究∂u ∂t= △u 時, 可觀其擴散過程 (diffu-sion process), 它和熱傳導 (heat conduc-tion) 基本上是一樣的, 此方程有個很好的基本性質: (∂u ∂t= △uu(0) = a given function(3)當t 趨近無窮大時, 試觀察u(t) 的變化 剛開始 (亦即t = 0) 有一個很大的跳躍(jump), 而在 t > 0 時 u(t) ∈ C∞, 是一個很光滑 (Smooth) 的函數, 可知 u(t) 的行為近乎 δ 函數。

這個現象 我們可從放一個熱源(Heat Source) 在某個域 (domain) 中時,其它地方可立即感受到溫度的變化來了解我們再看看其它的方程,波動方程和(3) 正好相反:  ∂2u ∂t2= △uu(0) = given4)例如我們觀察水波, 點波源觸動水面時, 水波在有限時間之內向外傳播若看 poisson 方程 △µ = ρ, 在物理現象中可視 ρ 為電荷分佈 (charge distribu-tion); 考慮在平面的電荷分佈以發現其位能分佈 (potential distribution) 的平衡狀態的問題, 加時間的因素進去之後得到ut=△u − ρ(5)或utt=△u − ρ(6)偏微分方程的方法3對於了解電荷分佈在平衡狀態時的問題可以多很多回顧方才所談及特徵值 (eigen value)的問題; 在研究熱方程時, 我們可觀察 λi的漸近行為 當 i 趨近於無窮時 λi的分佈和該區域 (domain) 的幾何有很大的關係 假如我們做出一個量P ie−λitϕi(x)ϕi(y) = h(t,x,y)(7)也就是△ϕi= −λiϕi, 其中 λi為特徵值ϕi為特徵函數而且R Ωϕ2 i= 1, h 為描述熱傳導的分配函數。

因為 (△xh =∂h ∂t h(0) = δx(y)(9)由 h 的變化, 得 Z h(t,x,x)dx =Xe−λit10)令 t → ∞, 亦即解 h 的漸近方程 (asymp-totic equation), 則可由 (10) 的左式得出有關幾何的量再來我們看波動方程∂2u ∂t2=△u,它和熱方程正巧是相反的例子剛才說Pie−λitϕi(x)ϕi(y)和熱方程拉上關係,現在我們可造出另一個新的量 Pie−√λ it√−1ϕi(x)ϕi(y) 可得到一個新的核 (Kernel) w(z,x,y), 即Xe−√λ it√−1 ϕi(x)ϕi(y) = w(z,x,y)11)同時我們知道eiλt=cosλt +isinλt是一個振動方程,很明顯的, Pe−√λ it√−1ϕi(x) ϕi(y) 和特徵值和特徵 向量有關, 可是它現在滿足一個波動方程,由這波動方程所隱函的“有限速傳播”(finitespeedpropagation)發現若以剛才作熱方程的方法來求w(t,x,x)的軌跡 (trace),即Rw(t,x,x)dx, 雖Rh(t,x,x) dx = Pie−λit收斂, 但Rw(t,x,x)dx 卻不收斂,原因是它存在很多奇點 (Singularities)。

例如在某個區域 (domain) 中射一個質點出去,當此質點碰到邊界時會反彈回來, 如圖 (b):(b)有時會形成很多封閉軌道 (closed orbit), 而此軌道之長度和奇點的無窮級數 (infinitelysum) 會有很大的關係, 故吾人可知 {λi} 由這些封閉軌道的長度所決定 其實這是由物理觀點來想的: 波動方程是用來描述一個質點的傳播, 由牛頓力學來看, 若出現一封閉軌道, 則會出現一個特別的性質, 其中此質點會沿著此軌道不停的走, 所以這封閉軌道的長度是一個很特別的量 我們可將這些結果重放到譜的研究上去4數學傳播十七卷二期民82年6月此處要說明的是, 本來我們是要研究橢圓 (elliptic) 方程的平衡狀態, 當我們加入一個動態因素之後可獲致一新的訊息, 這訊息在以前無法單看一個方程就能得到我現在想用一些例子來說明最近幾十年來, 用靜態方程在了解動態問題上的重要性對於普通的一個方程 ft= F(f,t), 我們想要去了解 ft的漸近行為 由最近很流行的 「混沌理論」(Chaos theory) 可知 這方程中有混沌現象, 「混沌」 是一個很麻煩的問題,最近沒有很好的理論, 但對於某種特定的方程, 我們有一些相當漂亮的結果。

假設沒有混沌, 我們就想要求此方程之漸近行為受到適當的控制, 即使有混沌現象, 我們也想在混沌之中找出一定的控制方法來,亦即在 t 趨近於無窮大時, ft可受到一定的控制 若 ft→ 0當 t → ∞, 則 f 趨近於一平衡狀態, 例如 ut= △u, 當 t → ∞, ut→ 0, 可得 △u = 0, 也就是說當 t 趨近於無窮時,u 趨近於一調和函數 由此可知調和函數直接影響動態方程的漸近行為之變化, 這觀念在較好控制之下的擴散過程 (diffusion), 常被討論我們一般所看到的方程比這複雜的多;我剛討論的 u 是單一函數 (scalar), 現在要討論的 u 則是一個系統 (system), 亦即 u 為一向量 (vector) 的情形 在這些方程之中有一些量 (如 ε,t,··· etc), 其導致的漸近行為有幾種, 如: t → ∞ 或 ε → 0, 我們想利用一些適當的方法將這些量丟掉 這在近代的物理或數學是一個很重要的課題, 尤其是在非線性方程上 舉例來說, ut= △u+F(u),其中 F 是非線性的項 (term); 我們先從方程 △u + F(u) = 0 來看: 假如 F 為非線性的, 我們並沒有疊加原理 (Superposi-tion principle), 也就是說, 若 u1, u2皆為方程式的解, 則 c1u1+ c2u2不一定為方程式的解, (c1, c2為純數)。

所以我們希望在 △ut= △u + F(u) 中, 當 t 趨近無窮時, 非線性的項會消失, 使得疊加原理可以出現 雖然無法適用於每一個方程, 但對於某些特定方程是對的就物理觀點而言, 我們可以想像有一堆「不知名」 的物質, 當我們從外面打進去一個質點之後, 如果在 「無窮遠」 處來觀察這複雜的系統, 儘管可能此質點在該堆物質之中時的行為是非線性的, 但最後當此質點出來之後, 其非線性效應 (nonlinear effect) 會消失掉 所以我們知道一個非線性方程的漸近行為和線性方程在無窮遠處的疊加原理是有密切關係的 在很多物理現象中, 當我們從無窮遠處觀察時, 疊加原理往往成立 對應在工程或物理上常用的 「散射過程」(Scat-tering process) 是一樣的意思, 當質點打進去一堆物質之中時, 我們無法觀察其細節, 但我們有很多 「保守律」 (conservation law),如 「動量守恆」、「質量守恆」 等; 而這些定律支配著這些質點出來之後的行為 這使得我們可以在無窮遠處嘗試用一些靜態方程的疊加原理去逼近某些動態方程, 在研究動態方程時這是個很重要的方法無論在動態或靜態方程, 我們都必須去了解其背後的物理意義及幾何意義。

知道這方程產生的原因之後, 我們才能把我們的想法放進去 若單看這方程, 而忽略其物理或幾偏微分方程的方法5何意義, 很可能會產生一些量, 這些量會使我們越來越遠離事實二) 非線性方程的抽象方法一般物理上或幾何上的方程都是非線性的; 儘管其基本定律可能是線性的, 但真正用於自然現象時卻是非線性的, 例如大家熟悉的牛頓運動定律中的 F = ma, 雖然基本上是線性的, 但若有幾個粒子交互作用之後, 每兩個粒子之間的交互作用力就存在了一個1 r2 的因素 (其中 r 是此二粒子之間的距離), 於是作用力就成了非線性的項了對於一個非線性方程, 我們如何用數學的觀念來逼近它? 其實在了解非線性方程時不可避免地要去了解線性方程, 因為線性方程是一個 「基本構造區塊」(Foundamentalbuilding block) 我們在探討微分觀念時,例如在某一點的導數dydx(x0), 其實它是曲線 上某一點切線的斜率, 在研究時我們首先要將曲線線性化 (linearization), 典型的方法是用直線去逼近它 非線性的問題基上是在描述無窮維空間中的一個曲線面 (Curvedsurface), 如同在微積分所做的一般, 我們需要線性化這方程, 而如何將此線性化方程(lineari。