(完整word版)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学高年级(B)试题与解析.doc

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B（小学高年级组）--By 肖瑶如意一、 填空题（每小题10分，共80分）1. 算式的值为（）【解析】这题我没考虑有没有简便算法，有那时间，直接做也做出来了2. 设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4=3,3▽4=4.那么对于不同的数x，5▽（4▽（x△4））的取值共有（1）个解析】4▽（x△4）这一步，不管x取值如何，结果都是4,5▽4=5，取值只有1个或者分情况讨论：①x≤4X△4=x4▽x=45▽4=5②x＞4X△4=44▽4=45▽4=5所以取值只有1个3. 里山镇到省城的高速路全长189千米，途径县城，里山镇到县城54千米早上8:30，一辆客车从里山镇开往县城，9:15到达，停留15分钟后开往省城，11:00到达另有一辆客车于同天早上8:50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米那么两车相遇的时间为（10:08）【解析】为叙述方便，称里山镇开出的客车为甲，省城开出的客车为乙甲到达县城前,平均时速为54÷45/60=72千米甲离开县城后,平均时速为(189-54)÷1.5=90千米/小时乙,从8:50到9:30,共行了60×40/60=40千米甲,从8:30到9:30,共行了54千米9:30,甲乙还相距189-40-54=95千米相遇还需95÷(90+60)=19/30小时=38分钟9:30+0:38=10:084. 有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1.如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱体体积和长方体的体积的比值为（π/8）【解析】高相同,体积比为1:1,则底面积比为1:1设方木底面边长为a,加工成的圆柱底面半径为m圆木底面半径为b,加工成的长方体的底面边长为na²=πb²,(a/b)²=πm²=a²/4n²=2b²所求比值为m²:n²=(a/b)²÷8=π/85. 用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],则算式的值为（）【解析】前两项,分别为3/5和4/5从第三项开始,5项一周期,分别为0/5,1/5,2/5,3/5,4/52012+2012=4024(4024-2014)÷5=402（一共402个周期）原式=(3+4)/5+(1+2+3+4)/5×402=805.46. 某个水池存有其容量的十八分之一的水。

两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等于第二条注水管已注入水池内的水量然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同之后，两条注水管都继续向水池注水那么两条注水管还需要一起注水（）分钟，方能将水池注满解析】为叙述方便,称第一条为甲,第二条为乙49:81=(7×7):(9×9)甲乙工效比为7:9(甲:乙=49*乙:81*甲à甲:乙=7:9)第一次共同注水时间为(7×81+9×49)÷(7+9)=63分钟第一共同注水量为2/9-1/18=1/6剩余注水量为1-1/18-1/6×2=11/18还需11/18÷1/6×63=231分钟7. 有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘每盘胜者积1分，败者积0分如果和棋，每人各积0.5分比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级那么本次比赛后最多有（）位选手晋级解析】一共16×15÷2=120场比赛不论胜负,每场比赛总分增加1分,总分一共120分最理想的结果是120÷10=12人晋级即有12人，每人10分；其余4人，每人0分；但这种情况不可能出现的（哪怕排名最后的两人，互相之间的比赛，也会有人得分）那么就考虑11人的情况前11名称为“高手”，余下5人，称为“鱼腩”高手之间的比赛，全平，每人得0.5×10=5分高手对鱼腩的比赛，高手全胜，每个高手再得5分这样，每个高手得分5+5=10分，正好全部晋级综上，最多有11人晋级PS:中国奥数群的上海-闲人老师提供思路8. 平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，则除这5个点外，这些线段至少还有（1）个交点。

解析】如图,至少1个二、 解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．能否用540个右图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由 【解析】能.如图,每两列一组,每列都是奇数个星,180列,一共分成180÷2=90组前面89组,都与第一组一样,最后一组如图,这样,第1,3,5行都是89个星,第2,4,6行都是91个星,满足要求10．已知100个互不相同的质数, 记， 问: N被3除的余数是多少？【解析】质数除了3,其余的都可以表示为3k+1或3k-1的形式平方为9k²±6k+1,除以3的余数为1其中99个的平方和,除以3的余数为0如果第100个是3,则N除以3余数为0如果第100个不是3,则N除以3余数为1所以答案为0或111．王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分硬币的枚数是一分的，五分硬币的枚数是二分的，一角硬币的枚数是五分的少7枚王大妈兑换到的纸币恰好是大于50小于100的整元数问这四种硬币各有多少枚？【解析】总币值在5000分—10000分之间且为整百1角的增加7枚,正好都是3/5的关系,总币值在5070分—10070分之间且末两位为701分为1,则2分为3/55分为3/5×3/5=9/251角为9/25×3/5=27/1251分至少125枚,2分125×3/5=75枚,5分75×3/5=45枚,1角45×3/5=27枚125+2×75+5×45+10×27=770770×11=84701分:125×11=1375枚2分:75×11=825枚5分:45×11=495枚1角:27×11-7=290枚12．右图是一个三角形网格，由16个小的等边三角形构成。

将网格中由三个相邻小三角形构成的图形称为“3-梯形”如果在每个小三角形内填上数字1~9中的一个，那么能否给出一种填法，使得任意两个“3-梯形”中的三个数之和均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由解析】不能.3-梯形有27个数字和,最小为1+1+1=3,最大为9+9+9=27,一共27-3+1=24种抽屉原理,至少有2个3-梯形中三个数字之和相等三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b：1）a≤b；2）a+b是个三位数，且三个数字从小到大排列等差；3）a×b是一个五位数，且五个数字相同解析】11111=41×271① a=271,b最小为41×7=287,最大为41×9=369经验证,不满足② b=271,a可能为41,82,123,164,205,246经验证,a=41,164,③ b=542,a可能为41,82,123…451经验证,a=82,④ b=813,a可能为41,82,123,164经验证,a=123综上,满足要求的正整数a,b有:(41,271),(164,271),(82,542),(123,813)14．记100个自然数x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？【解析】a=100x+(1+2+…+99)=100x+4950a的末两位为50x最小,则a的位数尽量少,又要满足a的数字和等于50(50-5)÷9=5a=9999950x最小为(9999950-4950)÷100=99950。