2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ).pdf

第1页（共 21页）2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标）一、选择题： 本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 1A，0，1， 2 ，2|1Bx x，则(AB)A 1，0， 1B 0 ， 1C 1， 1D 0 ，1， 22若(1)2zii ，则(z)A1iB1iC1iD1i3 西游记三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 424(12)(1)xx的展开式中3x 的系数为 ()A12 B16 C20 D24 5已知各项均为正数的等比数列na的前 4 项和为 15，且53134aaa ，则3(a)A16 B8 C4 D2 6已知曲线xyaexlnx 在点 (1,)ae 处的切线方程为2yxb，则 ()A ae，1bB ae，1bC1ae，1bD1ae，1b7函数3222xxxy在 6 ， 6 的图象大致为()ABCD8如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形， 平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ()第2页（共 21页）ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线9执行如图所示的程序框图，如果输入为 0.01 ，则输出的s值等于 ()A4122B5122C6122D712210 双曲线22:142xyC的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若| |POPF ，则PFO的面积为 ()A3 24B3 22C 2 2D 3 211 设( )f x 是定义域为R的偶函数，且在(0,) 单调递减，则()A233231(log)(2)(2)4fffB233231(log)(2)(2)4fffC233231(2)(2)(log)4fffD233231(2)(2)(log)4fff第3页（共 21页）12 设函数( )sin()(0)5f xx，已知( )f x 在 0 ， 2 有且仅有5 个零点下述四个结论：( )f x 在 (0,2) 有且仅有3 个极大值点( )f x在(0,2)有且仅有2 个极小值点( )f x 在 (0,)10单调递增的取值范围是125，29)10其中所有正确结论的编号是()ABCD二、填空题： 本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。

13 已知a， b 为单位向量，且0a b，若25cab，则cosa，c14 记nS 为等差数列 na的前 n 项和，若10a，213aa ，则105SS15 设1F ，2F 为椭圆22:13620 xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若12MF F为等腰三角形，则M的坐标为16 学 生 到 工 厂 劳 动 实 践 ， 利 用3D打 印 技 术 制 作 模 型 ， 如 图 ， 该 模 型 为 长 方 体1111ABCDA BC D ， 挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体， 其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6ABBCcm，14AAcm ，3D打印所用原料密度为30.9/gcm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g三、解答题： 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答一）必考题：共60 分17 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A、B两组，每组100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：第4页（共 21页）记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5 ” ，根据直方图得到P（C）的估计值为 0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） 18 ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b， c 已知sinsin2ACabA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围19 图1 是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB，2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2（1）证明：图2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图 2 中的二面角BCGA的大小20 已知函数32( )2f xxaxb（1）讨论( )f x 的单调性；（2）是否存在 a ，b，使得( )f x 在区间 0 ，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a ，b的所有值；若不存在，说明理由21 已知曲线2:2xC y，D为直线12y上的动点， 过D作C的两条切线， 切点分别为A，B（1）证明：直线AB过定点；（2） 若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点， 求四边形ADBE的面积第5页（共 21页）（二）选考题：共 10 分。

请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 （10 分）22 如图， 在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2B，)4，(2C，3)4，(2,)D，弧 AB ， BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0) ，(1,)2，(1, ) ， 曲线1M 是弧 AB ， 曲线2M 是弧 BC ， 曲线3M是弧 CD （1）分别写出1M ，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M ，2M，3M构成，若点P在M上，且 |3OP，求P的极坐标 选修 4-5 ：不等式选讲 （10 分）23 设 x ，y，zR，且1xyz（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a第6页（共 21页）2019 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 1A，0，1， 2 ，2|1Bx x，则(AB)A 1，0， 1B 0 ， 1C 1， 1D 0 ，1， 2【思路分析】解求出B中的不等式，找出A与B的交集即可【解析】：因为 1A，0， 1， 2 ，2|1| 11Bx xxx，所以 1AB， 0， 1 ，故选：A【归纳与总结】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题2若(1)2zii ，则(z)A1iB1iC1iD1i【思路分析】利用复数的运算法则求解即可【解析】：由(1)2zii ，得22 (1)12iiizi1i故选：D【归纳与总结】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3 西游记三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 【思路分析】作出维恩图，得到该学校阅读过西游记的学生人数为70 人，由此能求出该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值【解析】：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，作出维恩图，得：第7页（共 21页）该学校阅读过西游记的学生人数为70 人，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：700.7100故选：C【归纳与总结】 本题考查该学校阅读过西游记 的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题424(12)(1)xx的展开式中3x 的系数为 ()A12 B16 C20 D24 【思路分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解【解析】：24(12)(1)xx的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112CCCC故选：A【归纳与总结】本题考查展开式中3x 的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题5已知各项均为正数的等比数列na的前 4 项和为 15，且53134aaa ，则3(a)A16 B8 C4 D2 【思路分析】设等比数列na的公比为(0)q q，根据条件可得231111421111534aa qa qa qa qa qa，解方程即可【解析】：设等比数列na的公比为(0)q q，则由前 4 项和为 15 ，且53134aaa ，有231111421111534aa qa qa qa qa qa，112aq，2324a，故选：C【归纳与总结】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了方程思想，属基础题6已知曲线xyaexlnx在点 (1,)ae 处的切线方程为2yxb，则 ()A ae，1bB ae，1bC1ae，1bD1ae，1b【思路分析】 求得函数y的导数， 可得切线的斜率， 由切线方程， 可得102ae，可得 a ，进而得到切点，代入切线方程可得b的值第8页（共 21页）【解析】：xyaexlnx的导数为1xyaelnx，由在点 (1,)ae 处的切线方程为2yxb，可得102ae，解得1ae，又切点为 (1,1)，可得12b，即1b，故选：D【归纳与总结】 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题7函数3222xxxy在 6 ， 6 的图象大致为()ABCD【思路分析】由3222xxxy的解析式知该函数为奇函数可排除C，然后计算4x时的函数值，根据其值即可排除A，D【解析】：由32( )22xxxyf x在 6 ， 6 ，知332()2()( )2222xxxxxxfxf x，( )f x 是 6 ， 6 上的奇函数，因此排除C又 f （4）1182721，因此排除A，D故选：B【归纳与总结】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题8如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形， 平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ()第9页（共 21页）ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【思路分析】推导出BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设DEa，则2BDa ，2235244BEaaa ，从而BMEN【解析】：点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形， 平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，BM平面BDE，EN平面BDE，BM是BDE中DE边上的中线，EN是BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，设DEa，则2BDa ，2235244BEaaa ，62BMa ，223144ENaaa ，BMEN，故选：B【归纳与总结】 本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题9执行如图。