圆与四边形的综合（压轴题专项讲练） 八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练.docx

圆与四边形的综合【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．【解题过程】解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝32，∴CF＝2（k+3），EF＝2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(32)2+[2(k+3)]2=[2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝22AB＝62， ∴⊙O的半径为62．1．（2022·广东深圳·三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN=2，则ΔAMN周长的最小值是（   ）A．6 B．8 C．9 D．102．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校九年级期末）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（    ）A．104 B．116 C．120 D．1003．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则BC的长是（　　）A．23 B．32 C．42 D．334．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，C,D分别是OA,OB的中点，MC⊥AB,ND⊥AB,M,N在⊙O上．下列结论：①MC=ND；②AM=MN=NB；③四边形MCDN是正方形；④MN=12AB．其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·江苏·九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为______．6．（2022·四川·九年级专题练习）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为_____．7．（2022·广东广州·九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2−2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）．8．（2022·江苏淮安·一模）如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D．(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=2，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．9．（2022·浙江·兰溪市聚仁学校一模）如图，在平行四边形ABCD中，点O为AD边上一点，以O为圆心，OA为半径作⊙O恰好经过点B，与AD边交于点E，CD边所在直线与⊙O相切，切点为H，连接AH，EH，若2∠HAB+∠C=180°：（1）求证：CB为⊙O切线；（2）若DE=1，求⊙O半径．10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，弧AD = 弧DC．(1)求边CD的长；(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）②连接DE，求线段DE的长．11．（2022·湖南·长沙县湘郡未来实验学校九年级开学考试）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．(1)求证：AE⊥DE；(2)若⊙O的半径为5，CD=6，求AD的长．12．（2022·江苏·九年级）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是BC的中点，连接AE，DE，CE．（1）求证：AE=DE；（2）若CE=1，求四边形AECD的面积．13．（2022·河南·淅川县基础教育教学研究室一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在边AD的延长线上，连接AC，BD，已知CD=CE，∠E=∠BAC．(1)求证：DC平分∠BDE．(2)若CE与⊙O相切于点C，求证：AC=BD．14．（2022·福建南平·九年级期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．(1)求证：AF=CE；(2)若BF=2，DH=5，求⊙O的半径．15．（2022·江西·崇仁县第二中学二模）如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AE＝1，∠BAD＝75°；①求BE的长；②求阴影部分的面积．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．②试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）．17．（2022·陕西渭南·三模）问题提出(1)如图1，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D，若PD=2，则点P到边OB的距离是______；问题探究(2)如图2，已知矩形ABCD的一边AB长为6，点P为边AD上一动点，连接BP、CP，且满足∠BPC=60°，求BC的最小值；（结果保留根号）问题解决(3)如图3，正方形ABCD是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中AB=400米，三条观光小路BM、BN和MN（小路宽度不计，M在AD边上，N在CD边上）拟将这个展示区分成四个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，MB平分∠AMN，并且要求△BMN的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的面积最小的△BMN？若存在，请求出△BMN的面积的最小值．若不存在，请说明理由．（结果保留根号）18．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=CD．(1)如图1，求证：∠B=∠C；(2)如图2，AE为⊙O的直径，连接BE，过点O作CD的垂线，点F为垂足，求证：BE=2OF；(3)如图3，在（2）的条件下，过点O作AD的垂线，点G为垂足，若BA=BC，BE=2，OG=53，求AD的长．19．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC、OD．(1)如图1，求证：OC＝OD；(2)如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；(3)如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝32，DF＝2，求AB的长．20．（2022·全国·九年级课时练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么我们把这称为四点共圆．(1)下列几何图形的四个顶点构成四点共圆的有　 　．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．(2)已知△ABC中，∠A＝40°，如图1，平面上一点D，使得A、B、C、D四点共圆，试求∠BDC的度数．(3)若△ABC的外接圆为⊙O，半径为r，平面上有两点E、F，分别与△ABC的三个顶点构成四点共圆（E在AB的左侧，F点在AC的右侧），如图2．①试判断∠E+∠F﹣∠BAC的值是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由。