广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市第二中学2025学年高一上学期期中考试数学（解析版）.docx

南宁二中2024-2025学年度上学期高一期中考试参考答案数学试卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】借助数轴，利用集合交集运算规则求交集即可.【详解】由图可知，，故选：C.2. 下列命题中正确的是（　　）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则【答案】C【解析】【详解】分析：根据不等式性质逐一排除即可.详解：A. 若，则,当c取负值时就不成立，故错误；B. 若，，则，例如a=3，b=1，c=2，d=-2显然此时,故错误；D，若，，则，例如a=3，c=-1，b=-1，d=-2，此时,故错误，所以综合得选C.点睛：考查不等式的简单性质，此类题型举例子排除法比较适合，属于基础题.3. 下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用偶函数的定义，依次分析各选项.【详解】对于A，，定义域R，=，不是偶函数，不符合题意；对于B，，定义域为R，，是偶函数，符合题意；对于C， ，定义域为R，，是奇函数，不符合题意；对于D，，定义域为，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合题意；故选：B.4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，根据解析式有意义可知，即，综上，.所以函数的定义域为.故选：A．5. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A. 消耗升汽油，乙车最多可行驶千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗10升汽油D. 某段道路机动车最高限速40千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【分析】根据汽车的“燃油效率”的定义结合图象依次判断各个选项即可；【详解】对于A，由图象可知当速度大于时，乙车的燃油效率大于，当速度大于时，消耗升汽油，乙车的行驶距离大于，故A错误；对于，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于，当速度为时，甲车的燃油效率为，即甲车行驶时，耗油升，故甲车行驶小时，路程，耗油为升，故 C错误；对于，当速度小于时，丙车燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确.故选：D6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分折】利用挽元法，结合题目的等量关系，可得答案.【详解】令，，，．故选：C.7. 已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.【详解】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）.故选：A.8. 函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据特殊值判断函数是上的单调增函数，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】对任意的实数都有，，即，，，函数是上的单调函数，函数是上的单调增函数，，即，解得，即不等式的解集为．故选：.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的有（ ）A. 式子可表示自变量为、因变量为的函数B. 函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有个C. 函数，则4D. 与是同一函数【答案】ABD【解析】【分析】求有意义时，变量的范围，结合函数定义判断A，结合函数定义判断B，根据分段函数解析式求值，判断C，根据函数定义判断D.【详解】对于A，由有意义可得，，所以，又对于任意的，存在唯一的与之对应，所以A正确；对于B，由函数的定义，在定义域内的每一个，有且只有一个与之对应，所以函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有个，故B正确；对于C，，故，．故C错误；对于D，函数与有相同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确．故选：ABD.10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）A. 有最小值 B. 有最大值C. 有最小值 D. 有最小值【答案】BCD【解析】【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误；由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确.故选：BCD.11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是（ ）A. 是函数fx=1x的“完美区间”B. 若为的“完美区间”，则C. 二次函数存在“倍美好区间”D. 函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据单调性求fx=1x在上的值域，结合定义判断结论，对于B，根据定义，结合二次函数性质，列方程求，判断结论；对于C，假设该函数存在“倍美好区间”，根据定义列方程求区间端点，判断结论；对于D，设函数的“完美区间”为，由定义列方程求的范围，由此判断结论.【详解】对于A，函数fx=1x在单调递减，所以值域也是，故A正确；对于B，因为函数的对称轴为x=2，图象开口向上，故函数在上单调递增，所以其值域为，又因为为的完美区间，所以，解得或，因为，所以，B错误；对于C，若存在“倍美好区间”，则设定义域为，值域为，当时，易得在区间上单调递减，，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确；对于D，的定义域为，假设函数f(x)=mx−1x=m+1x，x<0m−1x，x>0存在“完美区间”，若，由函数在内单调递减，则，解得；若a>0，由函数在内单调递增，则即在有两解，，得，故实数的取值范围为，D正确．故选：ACD.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 若函数是偶函数，且在上是严格增函数，则、、的大小关系是________．【答案】【解析】【分析】利用偶函数性质将所有自变量转换到已知单调区间内即可比较大小.【详解】因为函数是偶函数，且在上是严格增函数，所以.故答案为：.13. 已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得.【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得；但且两端等号不同时成立，所以，即；因此实数m的取值范围为.故答案为：14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值.【详解】当时，解得或，所以，作出的图象如下图所示：由图象可知：当时，有最大值，所以；当时，解得或或；当时，或，由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；当时，值域为，此时，由上可知，的最大值为，故答案为：；.【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为；（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.16. 已知集合，集合，命题，命题，．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）. （2）或.【解析】【分析】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围.（2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围.【小问1详解】若为真命题，则，所以，所以.小问2详解】当为假命题时，即“”为真命题，所以，所以的取值范围为，由（1）知命题为假命题时，的取值范围为.所以当均为假命题时的取值范围为，所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或.17. 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足．（1）试写出该商品的日销售金额关于时间t（1≤≤30，t∈N）的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．【答案】（1）； （2）最小值为12100，最大值为20200．【解析】【分析】（1）函数关系近似满足，，即可得到商品的日销售金额关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（2）由函数关系近似满足，判断函数的单调性判断出函数的最值，即该商品的日销售金额的最值．【小问1详解】由题意，得【小问2详解】①当时，因为，当且仅当，即时取等号.所以当t＝10时，有最小值12100；当t＝1时，有最大值20200；②当时，∵在[25，30]上递减，∴当t＝30时，有最小值12400∵12100＜12400，∴当t＝10时，该商品的日销售金额取得最小值为12100，最大值为20200．18. 已知关于的不等式的解集为.（1）若，求实数的取值范围；（2）集合A中有且仅有两个整数，求实数的取值范围；【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）将代入不等式计算即可；（2）含参讨论解一元二次不等式，结合不等式解集中的。