高考专题几类特殊函数（对勾函数绝对值函数等）精品之高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版.doc

第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）I．理论基础·解题原理（I）对勾函数1、 对勾函数的定义形如的函数，叫做对勾函数．2、 对勾函数的图象与性质1. 定义域 2. 值域当时，（当且仅当，即时取等号）．当时，（当且仅当，即时取等号）．函数的值域为．3. 奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，，则对勾函数为奇函数．4. 单调性由于，令，解得或，令，解得或，所以函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数．5. 渐近线当时，，当时，，说明函数的的图象在第一、第三象限．当时，，说明函数在第一象限的图象在直线的上方，当时，，说明函数在第三象限的图象在直线的下方．双勾函数就是以轴和直线为渐近线的双曲线．特别时，，函数图象如下图所示：（II）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如的函数，叫做绝对值函数．含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；2．形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究．2、 绝对值函数的图象与性质1. 定义域：R；2. 值域：；3. 单调性：函数在上为减函数，在上为增函数．特别时，，图象如下图所示（III）取整函数取整函数的定义若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等．【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题．【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题．V．举一反三·触类旁通考向1 对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，令，则为奇函数，则，所以，有，故选A．考点：函数值、函数的奇偶性．【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性．【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是 A． B． C． D．【解析】，，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，，为增函数，只需，故选D．【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等．2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）A．若，则函数无零点 B．若，则函数有零点C．若，则函数有一个零点 D．若，则函数有两个零点【答案】A【解析】作出函数的图象如图所示：观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误．故选A．【跟踪练习】1．若函数，则下列结论正确的是（ ）2．关于函数有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；（3）函数f(x)的最小值为； （4）函数f(x)在上单调递增；（5）函数f(x)无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是（ ）【解析】注意函数的定义域为．如图：所以在上，g(x)在上递减，在上递增．所以由复合函数单调性可知，f(x) 在上递减，在上递增．由函数对称性，f(x) 在上递增，在上递减，所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g(x)的最小值为2，所以f(x)的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确．3．函数的最大值为______【答案】54．求函数在下列条件下的值域：(1)；(2)【解析】（1）当x>0时，由均值不等式，有当时，即时，取到等号；当x<0时，有 所以函数的值域为：5．已知函数 其中常数a>0．(1)证明:函数f(x)在上是减函数,在 上是增函数；(2)利用(1)的结论,求函数 (x∈[4,6])的值域；(3)借助(1)的结论,试指出函数 的单调区间,不必证明．【解析】（1）．，所以值域为：（2）解：．，所以值域为：．（3），所以值域为：．考向2 绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，方程无解；当时，，方程，即至多一解；当时，，当时方程，即必有一解；当时方程，因此有三个不同的实数解，选C．【例6】已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【例8】【2015高考湖北卷】为实数,函数在区间上的最大值记为．当 时,的值最小．【答案】【解析】．①当时,函数的图像如图所示．函数在区间上单调递增,．②当时,,在区间上的最大值为．③当时,函数的图像如图所示．【例9】函数 ,关于的方程恰有三个不同实数解,则实数的取值范围为 ．【答案】【例10】【2018广东广州模拟】已知函数 (1)证明：函数是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；(3)在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(-x)与f(x)的关系，判断函数f(x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想．试题解析：（1）依题可得： 的定义域为 是偶函数 （2） 由函数图象知，函数的值域为 （3）由函数图象知，不等式的解集为【跟踪练习】1．【2018浙江台州模拟】函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别，则的最大值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D由，得，由，得，，当且仅当，即时取到等号，故答案为D．考点：1、函数图象的应用；2、基本不等式的应用．2．【2018北京西城区模拟】设函数（1）如果，那么实数___； （2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是___．【答案】或4；【解析】由题意 ，解得或；第二问如图：考点：1．分段函数值；2．函数的零点．3．设函数为常数）（1）a=2时，讨论函数的单调性；（2）若a>-2，函数的最小值为2，求a的值．【解析】（1）时，，结合图像知，函数的单调增区间为，减区间为；（2），，结合图像可得当时函数的最小值为=2，解得a=3符合题意；当时函数的最小值为，无解；综上，a=3．考向3 取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为A．5 B．7 C．9 D．12考向4 取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为 ( )A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数【答案】D考点：函数的周期性．【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{an}满足：a1=3,an+1=[an]+1{an},(n∈N*)，则a2017=__________．【答案】3024+3考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．【跟踪练习】1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数， x就是x，当x不是整数时， x是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如-2=-2,-1.5=-2,2.5=2．求log214+log213+log212+log21 +log21+log22+log23+log24的值为（ ）A．0 B．-2 C．-1 D．1【答案】C【解析】log214=−2,−20），作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．由f（x）=0得；令g（x）=，（x>0），则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时；当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时；当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时；当4。