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大学物理教学大学物理教学 51. 51.量子力学基量子力学基础础-2-2第第15章章 量子力学基础量子力学基础------实物粒子也具有波动性实物粒子也具有波动性● ● 物质波物质波(德布罗意波德布罗意波)因因h极其微小极其微小, , 宏观物体的波长小得难以测量，故宏观物体的波长小得难以测量，故仅仅体现出粒子性体现出粒子性戴维逊戴维逊—革末电子衍射实验革末电子衍射实验汤姆逊实验汤姆逊实验实验验证实验验证●● 不确定关系不确定关系(测不准关系测不准关系) 在某确定方向上在某确定方向上(如如x方向方向)粒子的位置不确定量粒子的位置不确定量 x与与同一时刻同一时刻其其动量的不确定量动量的不确定量 Px之间存在以下关系：之间存在以下关系：不确定关系式一般用于估算不确定关系式一般用于估算对对y、、z方向有类似的表达式方向有类似的表达式l同一微观粒子，其坐标和动量不能同时被准确测定（波粒二象性）同一微观粒子，其坐标和动量不能同时被准确测定（波粒二象性）222:08:19● ● 波函数的性质波函数的性质粒子在整个空间出现的粒子在整个空间出现的概概率率是是100%. 4）归一性）归一性 1）单值性）单值性 2）连续性）连续性 3）有限性）有限性 波函数的标准化条件波函数的标准化条件非自由粒子的波函数怎么写？非自由粒子的波函数怎么写？自由粒子的波函数自由粒子的波函数由解由解薛定谔方程得到。

薛定谔方程得到问题：问题：状态状态经典粒子：经典粒子：922:08:19薛定谔薛定谔( (Erwin Schrödinger 1887-1961））1933年薛定谔获诺贝尔物理学奖年薛定谔获诺贝尔物理学奖薛定谔方程薛定谔方程其中，其中，　　　薛定谔在他的第一篇论文中，提到了德布罗意的博士论文对他的　　　薛定谔在他的第一篇论文中，提到了德布罗意的博士论文对他的启示他写道：启示他写道：“我要特别感谢路易斯我要特别感谢路易斯·德布罗意先生的精湛论文，是它德布罗意先生的精湛论文，是它激起了我的这些思考和对激起了我的这些思考和对‘相波相波’在空间中的分布加以思索在空间中的分布加以思索 四、四、 薛定谔方程薛定谔方程(波函数随时空变化所满足的方程波函数随时空变化所满足的方程. 1926年年,薛定谔薛定谔,奥地利奥地利)1022:08:19生命是什么生命是什么（（What is life ））(奥奥)埃尔温埃尔温.薛定谔薛定谔(Schrodinger, Erwin)著，著， 罗来鸥，罗辽复罗来鸥，罗辽复 译译 ，，长沙长沙 湖南科学技术出版社湖南科学技术出版社 2003索书号索书号 Q7-49 2 中文自科阅览室中文自科阅览室 综合图书借阅室综合图书借阅室本书据本书据Cambridge University Press 2000年英文版译出年英文版译出 该书是该书是20世纪的伟大科学经典之一。

作者从信息学的角度提出了遗世纪的伟大科学经典之一作者从信息学的角度提出了遗传密码的概念；从量子力学的角度论证了基因的持久性和遗传模式长期传密码的概念；从量子力学的角度论证了基因的持久性和遗传模式长期稳定的可能性；提出了生命以稳定的可能性；提出了生命以“负熵为生负熵为生”，从环境中抽取，从环境中抽取“序序”来维来维持系统的组织概念本书分三部分：第一部分持系统的组织概念本书分三部分：第一部分《《生命是什么生命是什么》》，第二部，第二部分包括有关意识和物质的讨论的分包括有关意识和物质的讨论的6篇论文篇论文,书末附了薛定谔本人在书末附了薛定谔本人在1960年写年写的自传 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝生命是什么生命是什么? 活细胞的物理学观活细胞的物理学观 [奥奥]埃尔温埃尔温·薛定谔著薛定谔著 99页页 索书号索书号 N02 1 上海人民出版社上海人民出版社 1973 中文自科阅览室中文自科阅览室 据剑桥大学出版社据剑桥大学出版社1948年英文版译出年英文版译出 有两个年轻人被其魅力所倾倒，走上了探索生命之路这两人一个叫有两个年轻人被其魅力所倾倒，走上了探索生命之路。

这两人一个叫华生，另一个叫克里克，便是后来发现基因（华生，另一个叫克里克，便是后来发现基因（DNA）的双螺旋结构的那）的双螺旋结构的那两人1122:08:19 1. 自由粒子薛定谔方程的引入自由粒子薛定谔方程的引入求导得求导得自由粒子波函数自由粒子波函数—自由粒子的自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程2. . 推广到势场推广到势场V(x,t)中的粒子中的粒子四、四、 薛定谔方程薛定谔方程(波函数随时空变化所满足的方程波函数随时空变化所满足的方程. 1926年年,薛定谔薛定谔,奥地利奥地利)可进一步推广到三维情况可进一步推广到三维情况1222:08:19薛定谔方程薛定谔方程:动能项动能项势能项势能项1）此方程是量子力学的基本假设之一，不能从理论上）此方程是量子力学的基本假设之一，不能从理论上 证明，其正确性只能由实验检验证明，其正确性只能由实验检验2）方程适用范围：粒子的）方程适用范围：粒子的v<

若粒子所处的力场不随时间变化，则薛定谔方程可化简设粒子的波函数为：设粒子的波函数为：得：得：定态薛定谔方程定态薛定谔方程由该方程组的解有由该方程组的解有1422:08:192）处于定态时，粒子的几率分布不随时间改变处于定态时，粒子的几率分布不随时间改变由定态波函数由定态波函数—与时间无关与时间无关 1）常数）常数E就是粒子的定态能级对应的能量值（就是粒子的定态能级对应的能量值（E=Ek+Vp））定态是指定态是指能量有确定值的状态能量有确定值的状态几率分布是确定的几率分布是确定的—与玻尔理论一致与玻尔理论一致由于指数只能是无量纲的纯数，故由于指数只能是无量纲的纯数，故E就是体系处于这个就是体系处于这个波函数所波函数所描写的状态时的能量描写的状态时的能量由由知，知，E =    = h 得，得，几率密度几率密度实际上，只有实际上，只有E为某些特定的值时，方程才有解，这些为某些特定的值时，方程才有解，这些E值叫做值叫做本征值本征值，，与这些与这些 E值对应的波函数值对应的波函数 叫叫本征函数本征函数注：注：1522:08:19式中符号：式中符号：● ● 薛定谔方程薛定谔方程● ● 定态薛定谔方程定态薛定谔方程1622:08:194. 定态定态 薛定谔方程的应用薛定谔方程的应用1）求一维无限深、方势阱中粒子的波函数）求一维无限深、方势阱中粒子的波函数 设粒子处在势阱设粒子处在势阱V(x)中中(一维定态问题一维定态问题)显然显然 ，在，在 的区域中：的区域中：在在 的区域中，粒子的定态的区域中，粒子的定态 薛定谔方程为：薛定谔方程为：其通解为：其通解为：解：解：对于能量对于能量E有限的有限的粒子，没有可能达粒子，没有可能达到阱外，故到阱外，故1722:08:19式中式中 A、、 B、、 k可用标准条件、归一化条件等确定。

可用标准条件、归一化条件等确定边界处边界处由（由（1）可得：）可得：——能量本征值能量本征值 由（由（2）可得：）可得： 恒恒这样的波函数不满足归一化条件这样的波函数不满足归一化条件! 若若其通解为：其通解为：只有：只有：则：则：注意：注意：1822:08:19其通解为：其通解为：式中的式中的A 可由归一化条件确定：可由归一化条件确定：方程的解为：方程的解为：薛定谔方程的解：薛定谔方程的解：即：即：势阱中粒子的波函数：势阱中粒子的波函数：——本征函数本征函数——能量本征值能量本征值 1922:08:19（（a）能量是量子化的）能量是量子化的相邻两能级的间隔：相邻两能级的间隔：当势阱当势阱宽度宽度a小小到原子的尺度，到原子的尺度，  E 很大，能量的很大，能量的量子化显著量子化显著;当势阱当势阱宽度宽度a大大到宏观的尺度，到宏观的尺度，  E很小，能量很小，能量量子化不显著量子化不显著,此时可把能量看成是连续的，回到了经典理论的结论此时可把能量看成是连续的，回到了经典理论的结论一维无限深方势阱中粒子的特点：一维无限深方势阱中粒子的特点：这是解薛定谔方程得到的这是解薛定谔方程得到的必然结果，不是玻尔理论必然结果，不是玻尔理论中的人为的假设。

中的人为的假设量子数量子数每一能量值对应一个能级每一能量值对应一个能级例例:将原子中的电子看成是处在将原子中的电子看成是处在a=10-10m的无限深势阱中的无限深势阱中则其能量为：则其能量为：——量子化显著量子化显著若电子在若电子在a=10-2m的宏观势阱中的宏观势阱中——不可分辨，量子化消失不可分辨，量子化消失2022:08:19（（b）对不同的）对不同的 n可得粒子的能级图可得粒子的能级图当当 时时在能量很高时能级可看成是连续分布的在能量很高时能级可看成是连续分布的经典经典量子量子等价等价2122:08:19(c). (c). 势阱中粒子最低能量不为零势阱中粒子最低能量不为零势阱中粒子最低能量不为零势阱中粒子最低能量不为零经典理论经典理论经典理论经典理论中粒子的能量可以为零，中粒子的能量可以为零，量子理论量子理论认为势阱认为势阱认为势阱认为势阱中的粒子能量不可能为零中的粒子能量不可能为零中的粒子能量不可能为零中的粒子能量不可能为零即粒子不可能在即粒子不可能在阱阱阱阱内静止动能，因动能，因 这是由不确定关系决定的这是由不确定关系决定的 ————零点能零点能零点能零点能n=1,最低能量最低能量2222:08:19(d). (d). 粒子在势阱中各处出现的概率粒子在势阱中各处出现的概率粒子在势阱中各处出现的概率粒子在势阱中各处出现的概率on+1个个节点节点节点节点束缚定态对应束缚定态对应束缚定态对应束缚定态对应驻驻驻驻波波波波。

驻波波长越驻波波长越驻波波长越驻波波长越短，对应粒子的短，对应粒子的短，对应粒子的短，对应粒子的能级越高能级越高能级越高能级越高当当当当 n n，，，，粒子粒子粒子粒子在各处出现的几在各处出现的几在各处出现的几在各处出现的几率相同率相同率相同率相同————量子量子量子量子化不存在化不存在化不存在化不存在波腹处概率最大，波腹处概率最大，波腹处概率最大，波腹处概率最大，波节处概率为零波节处概率为零波节处概率为零波节处概率为零2322:08:19例例: 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为若粒子处于若粒子处于 n=1 的状态的状态,求在求在 0—a /4区间发现该粒子的几率区间发现该粒子的几率解解:若若n=2呢？呢？2422:08:19例例: 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为则粒子在则粒子在x=5a/6处出现的概率密度处出现的概率密度   是多少？在是多少？在 0—a/4区间发区间发现该粒子的概率是多少？粒子出现在何处的概率密度最大？现该粒子的概率是多少？粒子出现在何处的概率密度最大？ 解解: 所以，归一化后所以，归一化后在在 0—a /4区间：区间：2522:08:192）势垒贯穿（隧道效应））势垒贯穿（隧道效应）（（1 1）梯形势垒：）梯形势垒：薛定谔方程：薛定谔方程：OIII解为：解为：（（E V＝＝V0, ,衰减解）衰减解）( (E V＝＝0, 振动解）振动解）E2622:08:19经经典典理理论论1.E >V0的粒子，能的粒子，能越过势垒。

越过势垒2.E V0的粒子，能的粒子，能越过势垒越过势垒2.E V0的粒子，的粒子， 也存在被弹回也存在被弹回1区的概率区的概率 —— 反射波反射波2. E < V0的粒子，也可能越过势垒由的粒子，也可能越过势垒由1区到达区到达3区 —— 隧道效应隧道效应穿透概率穿透概率（（2））一维一维势垒势垒( (隧道效应隧道效应) )1 2 3势势垒垒2922:08:19狮子的能量狮子的能量大于大于V才能才能出来！出来！不好，狮子不好，狮子出来啦！出来啦！经经典典理理论论量量子子理理论论救命救命VV3022:08:19金属样品金属样品电子云电子云Vb—— 微小电压微小电压3) 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)Scanning Tunneling Microscopys隧道电流隧道电流 I1.测样品表面：控制测样品表面：控制s，使，使I 保持恒定；保持恒定；2.分辨样品表面离散的原子，分辨能力强分辨样品表面离散的原子，分辨能力强横向横向0.1nm ，纵，纵向向0.01nm，电子，电子显微镜显微镜（（0.3~0.5nm））3.移动原子（移动原子（1990年用年用35个个Xe原子在原子在 Ni表表面拼缀出面拼缀出 IBM ）。

1981年IBM公司)电子云重电子云重 叠叠图象放大：图象放大：108倍倍分辨本领：分辨本领：10-10m31STM拍摄的硅表面的原子结构拍摄的硅表面的原子结构3215:29:45石墨晶体表面原子的石墨晶体表面原子的STM照片照片33　移动原子　34宾尼、罗赫尔宾尼、罗赫尔和和鲁斯卡鲁斯卡三人分享了三人分享了1986年度年度的诺贝尔物理奖的诺贝尔物理奖 前两人是前两人是扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜的直接发明者，第三人是的直接发明者，第三人是1932年年电子显微镜电子显微镜的发明者，这里是为了追溯他的功劳的发明者，这里是为了追溯他的功劳罗赫尔罗赫尔宾尼宾尼鲁斯卡鲁斯卡 7min35 7min2012年03月15日 1986年诺贝尔物理学奖获得者Heinrich Rohrer 教授访问引力实验室参加实验室学术报告参观实验现场并进行学术交流36作业：作业： Chap.15 — T9 ~ T11(习题册上习题册上)课后教案将发到公共邮箱课后教案将发到公共邮箱phyysq@ , 不在课间拷贝不在课间拷贝37 结束语结束语谢谢大家聆听！！！谢谢大家聆听！！！38。