悬臂梁固有频率的计算.docx

1悬臂梁固有频率的计算试求在 处固定、 处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶） 0xxl解：法一：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：；42(,)(,)+0wxtxtEIA悬臂梁的边界条件为：22(0)(1,)((3),EI)0(4)xl xldwwxx， ；该偏微分方程的自由振动解为 ，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到(,t)W(Tt)w， ；其中1234(x)CcosincoshsinWxCxx(t)AcostBintTw24AEI将边界条件（1） 、 （2）带入上式可得 ， ；进一步整理可得130240C；再将边界条件（3） 、 （4）带入可得12(x)cosh)(sinih)xx； 要CCllll12(sinih)C(cosh)0llll求 有非零解，则它们的系数行列式必为零，即12和(cosh)(sinih)=0inicosllll所以得到频率方程为： ； 该方程的根 表示振动系统的固有频率：s()()1nnllnl满足上式中的各 （ ）的值在书 P443 表 8.4 中给出，1224(),,.nEIwlAnl1,2.现罗列如下： ；12345.87504.6907.850.914.372lllll， ， ， ，2若相对于 的 值表示为 ，根据式中的 ， 可以表示为 ；n2C2n1nC221cosh()ininnllC因此 由此可得1 cosh(x)(cosxh)(sixih),2,.iinnnnnn nnllW   到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将 n=1,2,3,4,5 带入可得：1 1 12 2 22 2 21 34 4 4.8750().690()7.85()EIEIEIAl Al Al， ， ，；1 12 22 24 54 4.9().37()IIl l，法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：；42 4242(,)(,)(1)0wxtxtEwIEIAIkGkxtt边界条件： ；(0)()0（ ） ， xlxl（ ）设方程的通解为： ；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程(,)Csincosnwxtwtl可得到频率方程为： ；其中 ；42224r()0nnrEnkGllkGl22IEIrA，若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为 ；当 n=1,2,3,4,5 时可22=nEInwll分别求得固有频率为： 222221 3454916EIEIEIIIwwAlAlAlAlAl， ， ， ， 。

3多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为 5 个相等的集中质量 12345mm1.邓克莱法邓克莱公式为：，其中 ，1252aamm3333312 45896,,,,7575127lllllaaaEIIEIIEI；将其代入上式可求得系统的基频为：，此基频比用伯努12345 1214.8()wAl;利-欧拉梁求得的一阶固有频率 偏小，误差为 17.42%，与邓克莱法的推导预期相符12214.8750()IAl2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为 015mM33333333417751075058264982776155lllEIIEIlllIIIlll3    1357986231270455481964081235748501EIKl2    4取静变形曲线为假设阵型，设 有(4012794360)TA232EI815lm64918m,,EITTTAMKMl所以， 此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有4 4.6.7()=,(A)T TIRRl l 频率 偏大，误差为 15.23%，与瑞利法的推导预期相符。

12214.8750()EIl3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为 1 2(2345)(13579)TT， ；则可求出 分别为*,MK*T33*T59=1678EI75Ill511mK将 代入 得 ；可以求得：*,M*2*()0wA*2*0KwM， ；以及 ；*13EI59.08mwl*23EI.5l*(1)*(2)1,A.5780.9所以系统前两阶主阵型的近似为5(1)*(1) (2)*(2) .0 1.06359A=.42 .7,A=.7 .83-946 0.8 .24.雅克比法动力矩阵为 ，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率3333333lm4l17lm75EI0I5EI8261l9l8lIII475075l2EIDM336ll1IEI，阵型为2.93 0 018.7 5 03I*m 0 18.l 0.49 .16 0.387 .59 0.7132526-2 -.87 -. .4 . .48T 0.361 . 0.17 -.3 0.    。