2008imo中国国家集训队平面几何练习题.doc

第 1 页 共 18 页2008IMO2008IMO 中国国家集训队平面几何练习题中国国家集训队平面几何练习题1．一圆切于两条平行线，第二个圆切于，外切于，第三个圆O12,l l1OA1lAOAC切于，外切于，外切于，交于，求证是的2OA2lBOAD1OAEADBCCDE外心 （35 届 IMO 预选题）证明 由∥，知，从而有，即1AO2BO12AO EBO E 12AEOBEO 三点共线同理由∥，可得三点共线又因为,,A E BOF2BO,,B D F，所以四点共圆，211118018022EDBEO BAO EEAF ,,,A E D F，即点在与的根轴上又因为在与的根轴上，BE BABD BFAAB1OAOAC1OAOA所以是与的根轴同理是与的根轴，因此为根心，且有BC1OAOAAD2OAOAQ，即是的外心QCQDQEQCDE2．非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，ABCI,,BC CA AB111,,A B C分别交圆于， 中的角平分线分别交11,AA BB22,A B111ABC111111,C ABC B A于点，证明（1）是的角平分线；（2）如果是1111,BC AC33,A B23A A121B A C ,P Q和的两个外接圆的交点，则点在直线上。

（01 年保加利亚）123A A A123B B BI PQ证明 （1）因为∽，∽，所以有12AC A11AAC12AB A11AAB，从而有，即是的角平122212111111C AAAAAB A C AACABB A131211121113C AC AC A B AB AB A23A A121B A C第 2 页 共 18 页分线2）设的外心为，连，则由于123A A AO221,,,OI IA OA OA12OIA A132A A A1121231131121211111121902AC AC A AC A AAC AC A BC ABAC A ，所以，于是有2211321122118090902A OIA OAA A AAC AA IO，即与相切于同理与的外接圆相切于，从而290IA O2IAOA2A2IB123B B B2B在与的外接圆的根轴上，即三点共线IOA123B B B , ,I P Q3．已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，OXXO,A BX与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，O,C DCABD,CA BDF,CD ABG与的中垂线交于点，证明四点共圆。

（05 年日本）BDGXH,,,X F G H第 3 页 共 18 页证明 因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波,,,X D G C90CFDF,X G罗尼斯圆上设的外接圆与交于点，,FG FXGFDDFX GFXBFH则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆GHXHHGXHH ,,,X F G H4．若到的三个顶点的距离的比都是，且互不相 ,P QABC , ,A B C ::l m n,,l m n等，则直线过的外接圆的一条直径若设的外接圆圆心为，则 PQABCDEABCO2OP OQODA证明 法一：由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上， ,P Q,A C : l n PQGA其中与的交点为，且为调和点列设与交于点，则AGGA,K L,,,A K C LOAGAF，因此与相切于点，于是也与相切于点22GA GCGKGFAGFOAFOFGAF第 4 页 共 18 页同理，由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，设与 ,P Q,B C :m n PQMAOA交于点，于是与相切于点因为，所以在与MAHOHMAHOHOFOGA的根轴上，从而有三点共线。

设与交于点，则MA, ,O P Q PQOA,D E，即为调和点列22ODOFOP OQA, ,,D P E Q法二 由于，则的外接圆就是关于点的阿波罗尼斯圆，APBPCP AQBQCQABC ,P Q从而在直线上，且有O PQ2OP OQODA5．已知圆心分别为的圆外切于点，并内切于圆，切点分别为，12,O O12, D,E F过点作的公切线 设圆的直径垂直于 ，使得在 的同侧，证明D12, lABl1,,A E Ol三线交于一点 （第 47 届 IMO 预选题）12,,AO BO EF证明 设的中点为，为圆与圆的位似中心，由于半径分别垂ABOE11,OB O D直于 ，所以∥，且有三点共线同理三点共线lOB1O D,,E D B,,F D A设交于点，由于，所以是的垂心，于是,AE BFC,AFBC BEACDABC，这表明在直线 上CDABCl设与直线 交于点，下面证明点在直线上设与圆的第二个交点EFlPP1AOAC1为，则是圆的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证三点共线，只要证NND11,,A O P因为，所以只要证设 与交于点，111NOCADP AN O D PCAA11NOO DCACP ANPDlABK第 5 页 共 18 页则，从而只要证，即证是调和点列。

连交于点CACK ANKDCPCK PDKD, ,,C P D KAPBC，则是调和点列，因此有是调和点列X,,,C X F B, ,,C P D K6．设是梯形，∥，在其两腰上分别存在点，使得 ABCD ABCD ,AD BC ,P Q，证明点到梯形两对角线的交点的距离相等 ,APBCPDAQBCQD   ,P Q（20 届全俄）证明 设与的外接圆交于点，则有APBCPD1Q，所以点在上又 11180180180CQ PBQ PCDPBAP1Q BC因为，所以设与的外接圆11CQ DCPDAPBAQ B   1APBCPD半径分别为，，则，因此与的交点是12,R RAPB11222sin 2sinRRAB CDRR  ACBDO的外接圆与的外接圆的位似中心，设与的外接圆的圆心APBCPDAPBCPD分别为，则在上，且是的中垂线，于是有12,O OO12OO12OOPQOPOQ7．圆均与圆外切，切点分别为，并且它们还分别与的两123,,S SSS111,,A B CABC条边相切，证明三线共点。

（20 届全俄）111,,AA BB CC第 6 页 共 18 页证明 设的内切圆的圆心为，半径为，的半径分别为ABCIR123,,,SSSSAAAA，则设为上的一点，且满足123, ,,r r r r11 1,,1rrH AH ArRISS  AAAPSI，则，从而有在一条直线上同理与PSr PIR,rH PRIS AA1,,A A P1,,B B P均三点共线，即三线共点1,,C C P111,,AA BB CC8．给定一个半圆周，其直径为，圆心为，一直线与半圆周相交于点，且 ABO,C D与的延长线交于点，其中设的外接圆 ABM,MBMA MDMC ,AOCBOD的第二个交点为，证明是直角 （21 届全俄）12,O OKMKO证明 法一 连交于点，交于点，因为∥1OO1OAP2OO2OAQ12,OOOK PQ，且在上，所以只要证三点共线由于是的直径，因此12OOKPQ,,P Q MOP1OA与相切同理也均与相切过作的平行线，与的延PAOA,,PC QB QDOAPQDDC长线交于点，则，所以，即与ECEPMDQECP  PEPCPAPAE第 7 页 共 18 页均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即三点QBD,,P Q M共线。

法二 设交于点，交于点，则为的垂心连，,AC BDN,AD BCHHNABMH分别交于点，则及为调和点列，所以是关于,AC BD,X Y,,,N C X A,, ,N D Y BMHN的极线，于是同理，且是的垂心由蒙日定理得OAONMHOMNHOHMN过点，于是有设与交于点，则OKNMHOKNH ABT，所以四点共圆，，于NH NTNC NANK NOAAA,, ,K O T H90HKOHTO 是有三点共线M K H法三 延长至，则OKS9090MKOSKDDKM   四点共圆90, ,,DBODKMDKMDAMK A M D   因为关于对称，所以有KABCDK  ,C APO 180180CDKCDBKDBCABKOBKOBCAB  KCACABOCAOCKCABOACKAOCABKAB    9．设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引O ABCDAOBCOD 一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。

（6BOCAOD 届全苏）证明 设的重心分别为，则四边形,,,AOBBOCCODAOD , ,,K L M N是平行四边形，并满足分别平行于，， KLMN ,KL KN ,AC BD =,33ACBDKLKN 从而有设的垂心分别为，则KLAC KNBD,,,AOBBOCCODAOD ,,,K L M N均三点共线，且四边形是平行四边形，,,;,,; , ,;,,A K N C M L B K L D M N K L M N  并满足分别垂直于设，不妨假设，则 ,K L K N   ,AC BD AOB90第 8 页 共 18 页，所以有，即同理 90OBL cos 90cosK LAC  cotK LAC  ，于是有因此平行四边形与相 cotK NBD  K LACKL K NBDKN  KLMN K L M N  似，若把其中的一个平行四边形旋转，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线90都互相平行，因此有 ,K MLNL NKM 10．已知四边形是等腰梯形，AD∥BC，把绕点旋转某一角度得到 ABCDABCC，证明线段的中点在同一条直线上。

（23 届全苏）A B C ,,A D BC B C证明 将平移得，则的中点经位似变换BCBDCEFG,,A D BC B C变为连交于，由于，因此有,2H D ,,A E GEBADKBEBKBA，从而,EAAD EAEF111190901802222AEGFEGEFGEFGBCBACA因为直角梯形的腰的中点到两个直角顶点的距离相等，所以，ADFEDFECACA C即在以为圆心，以为半径的圆上，从而有，于是可得, ,E A ACCA1 2ACAAEA 三点共线 ,,A E G11．已知为内一点，由分别向作垂线，垂足分别为MABCM,,BC CA AB由分别向作垂线，证明这三条垂线交于一点若,,A B C , ,A B C,,B C C A A B   M的外心为，则三点共线，且是线段的中点A B C  O,,M O MOMM第 9 页 共 18 页证明 法一 连，并延长至，使得是线段的中点设的中点为MOMOMMAM，则为由所确定的四边形的外接圆的圆心，因此。

又因为OO,,,A C M BOOB C ∥，所以有同理可得。