武汉理工线性代数课件第三章.doc

第三章 线性方程组 本章涉及两个内容：向量和线性方程组.研究线性方程组的解是《线性代数》的最重要的任务，用矩阵措施来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表达线性方程组的解和体现解之间的关系.§3.1线性方程组1 线性方程组定义3.1 由m个方程n个未知量构成的线性方程组的一般形式：矩阵形式是：其中矩阵，b =, x =分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵，称为增广矩阵，满足线性方程组的有序数组称为线性方程组的解，线性方程组的所有解构成解集，求解的过程称为解线性方程组.对方程进行合适变化而解不变，叫做同解变换.显然，下列三种变换是同解变换：(1) 互换两个方程的位置；(2) 用一种非零数同乘某个方程的两边；(3) 把一种方程乘以某个数加到另一种方程上. 2 线性方程组的消元解法 线性方程组的消元解法就是运用上述的三种同解变换，逐渐消去未知量化为一元一次方程，得到这个方程中的未知量的解，再逐渐回代得出其他未知量的解也就是两个过程：消元和回代观测下面的例子，体会同解变换和消元法： （1）先把第1个方程的（-1），（-2）倍分别加到第2，3个方程上去，消去： （2）把第3个方程两边同乘（-1/3）并且和第2个方程换位置： （3）再把第2个方程的2倍加到第3个方程上去，消去： （4）在中学时，我们一般从第3个方程得到回代到第2个方程得到，再把和回代到第1个方程中，得到。

目前我们把第3个方程乘（1/3），再将其（-1）倍加到第1，2个方程上去， （5）然后把第2个方程的（-1）倍加到第1个方程上去，得到 （6）以上的解法中，方程组（1）变化到（4）的过程是消元，背面2个环节是回代无论是消元还是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知量自身并未变化；并且对方程组所作的三种同解变换相应矩阵的三种行初等变换因此解线性方程组相称于增广矩阵的行初等变换通过对消元法解线性方程组的观测和分析（可以写出每个过程相应的矩阵），我们必须建立如下的观念：² 线性方程组和增广矩阵一一相应，矩阵的每一行相称于一种方程；² 在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一种矩阵都相应一种线性方程组，这些方程组都是同解方程组（也可以叫做等价方程组）！ ² 消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵；² 回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵；² 解线性方程组只能用初等行变换，不可以用列变换！ 对增广矩阵作行初等变换，可以化为矩阵：观测到方程组无解；方程组有解并且，即；进一步地分析，当时，方程组有唯一解；当时，方程组具有个自由未知量，可以任意取值，方程组的解有无穷多种。

因此我们得到下面的定理 定理3.1 非齐次线性方程组有解的充足必要条件是，并且时有唯一解，时有无穷多解定理3.2 齐次线性方程组0有非零解的充足必要条件是 ，0仅有零解的充足必要条件是.推论1 当时，齐次线性方程组0有非零解. 这是由于当时，齐次线性方程组0的系数矩阵的秩一定不不小于n.推论2 当时，齐次线性方程组0有非零解的充要条件是；仅有零解的充要条件是 要清晰以上定理中的n是未知量的个数，m是方程的个数但是判断解的情形总是根据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数3 线性方程组的消元解法环节解非齐次线性方程组的环节：(1) 写出相应的增广矩阵；(2) 对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.观测?若不相等，得出无解的结论，若相等就进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，时可直接写出它的唯一解，时，进行下一步；(4) 根据行最简形写出等价方程组，令其中的个自由未知量（非首元所在列）为任意常数：，并把其他未知量（首元所在列）用表达.增广矩阵相应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有无解和有多少解，行最简形矩阵用于求解.原始方程组rr行最简形矩阵求出方程组的解阶梯形矩阵判断有无解有解解齐次线性方程组0的环节：(1) 写出0相应的系数矩阵；(2) 对系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.观测?若，得出仅有零解的结论，若进行下一步；(3) 继续初等行变换把矩阵化为行最简形，写出等价方程组，令其中的个自由未知量（非首元所在列）为任意常数：，并把其他未知量（首元所在列）用表达.无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须化为行最简形矩阵.例3.1 解下面的线性方程组解 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵： 得到，表白秩不相等，因此方程组无解.例3.2 解线性方程组解 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵： 发现，阐明有唯一解，因此继续初等行变换，化为行最简形矩阵： 得到解：例3. 3 k为什么值时，下面的齐次线性方程组有非零解？求最小k值时方程组的通解. 解 对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.为了计算的以便，令， 令，得或，即时，，齐次线性方程组有非零解.当时，， ,等价方程组：令自由未知量，为任意常数，得到所有解： 如果方程组的系数或常数项中具有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可行性.在本例中，如果不先换行，而作变换：使(2,1)元化为零，是不可以的，由于不能拟定与否.如果是倍乘变换，倍乘数也不能为零.对含参数的矩阵作初等行变换，有时计算比较难，如果方程的个数和未知量的个数相似时，可以用行列式与否为零来判断解的情形和拟定未知参数的值（克莱姆法则），再用矩阵的初等行变换（消元法）求出解. 本例可以采用这种克莱姆法则和消元法结合的方式： 令 （记）得或，即；当时， 得到方程组的解：3.2 向量及其运算1 向量的定义定义3.2 个有序的数构成的数组称为维向量 ，n称为向量的维数，这个数称为该向量的个分量，第个数是第个分量，每个分量都是实数的向量称为实向量，分量中有复数的向量称为复向量. 本课程仅讨论实向量.向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量或行向量，记作：或 一种行向量的转置是一种列向量，一种列向量的转置是一种行向量.一种列（行）向量可以当作一种列（行）矩阵.对于向量，我们有如下的阐明：(１) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；(２) 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；(３) 当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.定义3.3 每个分量都是零的向量称为零向量，记作0；将向量的每个分量变成相反数得到的向量称为的负向量，记作. 有不同维数的零向量.定义3.4 若干个维数相似的向量构成的集合称为向量组.线性方程组的一种解是一种向量，称为解向量，解的集合称为解向量组.向量组：称为初始单位向量组，有不同维数的初始单位向量组.2 向量的线性运算定义3.5 当且仅当两个向量的维数相似且相应的分量相等时称这两个向量相等，记作：.即：若有，，那么下面我们定义向量的加法和数乘运算，临时不作向量的乘法运算.(1) 加法 设有两个n维向量：与，称向量为与和，记作：，即：(2) 数乘设有n维向量和数k，称向量为数与向量的乘积，记作，即: 根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：行向量的线性运算类似上述列向量的运算.定义3.6 向量的加法和数乘运算统称为线性运算.既然向量可以当作列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相似，也就具有相似的算律，这里不再反复.3 向量与矩阵、方程组的关系一种矩阵的每一行元素可以构成一种向量，得到m个n维的行向量，称为矩阵的行向量组.每一列元素可以构成一种向量，得到n个m维的列向量，称为矩阵的列向量组.用分块矩阵的观点看，矩阵以列向量为子块：，也可以以行向量为子块. 如果矩阵是n阶方阵，那么它的行列式可以写成.线性方程组它的每个未知量的系数构成一种列向量，得到n个m维列向量，，常数项也构成一种m维列向量，用向量的线性运算表达为： 那么齐次线性方程组可表达为0在方程组中是未知量的系数，而在向量的运算中，可以把当作是向量的系数.这在向量关系的讨论中很重要.例3.4 已知向量，求一种向量使得成立.解 先将所求向量用向量表达出来，再作向量的线性运算.由于 因此 例3.5已知向量，且0.求：的值.解 0根据向量相等的定义§3.3 向量组的线性有关性1 线性组合 线性组合研究一种向量与一种向量组的关系.定义3.7 对于给定的向量组和向量，如果存在一组数使得 (3.3.1)成立，那么称向量是向量组的一种线性组合，或者说向量可以由向量组线性表达，数称为组合系数。

等式体现了向量组和向量以及一组数之间的关系一般有两类问题： (1) 已知和一组数，求向量. (2) 已知和向量，求一组数. 前一种是向量的线性运算问题，后一种是求线性组合的系数问题.如何求组合系数呢？可以觉得(3.3.1)式是一种线性方程组，它觉得未知量， 为系数，为常数项，显然线性方程组的解就是组合系数因此有定理3.3 向量是向量组的一种线性组合的充足必要条件是觉得列向量的矩阵的秩和觉得列向量的矩阵的秩相等，即： 判断向量与否是向量组的一种线性组合并求出组合系数，和判断线性方程组与否有解及求解的环节相似.如果方程组有唯一解，表达法唯一；如果方程组有无穷多解，则表达法不唯一注意：求组合系数时，应把所有的向量写成列向量构成矩阵，并且作初等行变换，不可以作列变换！定义3.8 设有两个向量组：(A) ，(B) ，如果(A)组的每个向量都可以由 (B) 组线性表达，称(A)可由 (B)线性表达；如果(A)与(B)可以互相表达，则称向量组(A)与向量组(B)等价.等价向量组的性质： 自反性：每个向量组与自身等价； 对称性：若向量组(A)与向量组(B)等价，则(B)与(A)等价； 传递性：若向量组(A)与(B)等价，且向量组(B)与(C)等价，则向量组(A)与(C)等价.设向量组(A)可由向量组(B)线性表达，那么存在使得即：存在矩阵使得其中，。

称为向量组(A)由向量组(B)线性表达的系数矩阵 更简朴地说，矩阵方程有解，那么向量组A由向量组B线性表达，其解X为表达矩阵例3.6 问向量能否由向量组：线性表达？若能，写出其表达式解 可由向量组线性表达，且有2 线性有关与线性无关 线性有关和线性无关研究一种向量组与零向量的关系.。