二重积分计算技巧总结.pdf

第五章第五章二重积分二重积分一、常规方法一、常规方法 二重积分的计算重点在于化二重为两个一重积分， 转化的方法有直角坐标系的计算、 换元法 （一般换元和极坐标换元） ，在计算之前首先画出积分区域的图 一、直角坐标系下的二重积分 直角坐标系下的二重积分为：（1）f(x,y)badydx 上下其中上下表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把上、下曲线表示成 yx的形式，即把y表示成关于x的形式但是，如果积分区域有几个上或几个下的时候需要将区域“割”一下这种形式的积分次序为先 y 后 x2）f(x,y)dcdxdy 右左其中左、右表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把左、右曲线表示成 xy的形式，即把x表示成关于y的形式但是，如果积分区域有几个左或几个右的时候需要将区域“割”一下这种形式的积分次序为先 x 后 y 在做题时， 积分次序由积分区域和被积函数确定， 所以需要分析一下积分区域的形状和被积函数的形式，比如被积函数为2ye，显然先对y积分是不行的，需先对x积分二、二、换元法换元法 （1）一般换元法的二重积分 用换元法求二重积分时重要的是要确定新的积分区域和新的微元。

将原区域变换成新区域时只要区域边界一一对应即可，而微元变换为dxdyJ dudv，其中J为雅可比行列式，如 , ,xx u v yy u v，则xx uvJyy uv  即原变量对新变量的导例：求ed dx yx yDx y，D 为0,0,1xyxy所围区域解：令,.uxy vxy则 11(),()22xuvyvu，则 J=1 2 D 的边界一一对应得到新区域D：1002xuvuv 1002yvuuv1111122xyuvvuv  从而:D所以1ed ded2x yux yvDDx yudv例 ： 求 抛 物 线,22ymx ynx和 直 线,yx yx所 围 区 域 的 面 积 ，(0, 0)mn解：令2 ,yyuvxx则2,.uuxyvv2342121u uvvJuv vv  于是原区域 D 变换成新区域 ,,Dm n  ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域，方便积分面积2233433d()()11d6nm DDvnmSdxdyJ dudvu uv  （2）极坐标下的二重积分 极坐标代换法基本格式为：cossinxryr 被积函数,f x y化为cos , sinf rrr， 接下来重要的是讨论, r的范围。

其中, r的范围由于积分次序的不同而不同若积分次序为先r后，则对应方法为“张角射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区 域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定r的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作射线相交的边界线化成 rr的形式，就确定出r的范围比如：求,Df x y dxdy，其中 D 的范围如图：O 与区域内点的连线的张角范围为:42 首先 O 在区域内，所以0r ，然后过 O 作射线，射线与1y 相交，就将参数方程代入被交的曲线得到1sin1sinrr  ，于是1:;042sinDr 极坐标下的二重积分是考试的重点内容，如 2013 年考研题中：kD是圆域221xy在第 k象限的区域 ，kk DIyx dxdy，则kI哪个大于 0？若积分次序为先后r，则对应方法为“同心园交点” ，其中由同心园确定r的范围，交 点确定的范围值得注意的是有多个交点的情况，也需要割一下还是以上例为例由与区域边界交的情况得到同心圆半径分：01;12rr，在01;r作一个圆，把与圆相交的边界曲线用参数方程代入化为 r  的形式，这样就得到的范围。

三、三、交换积分次序交换积分次序 交换积分次序的步骤为：写---画---交换 写：由已知次序的积分写出积分范围；画：画出积分区域；交换：交换积分次序四、四、对称性对称性,轮换性轮换性 如果区域 D 关于 y 轴对称，则有：10,,, ,2,,,, DDfx yf x y f x y dxdyf x y dxdy fx yf x y 。