高数下册(同济大学版)第八章.ppt

例1. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,为顶点,,,,例2. 已知两点,解:,,,,,例3,解: 因,1. 设,求向量,在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分,向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,例4. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,,,,例5.,第二节,设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且,解: 如图所示, 记 ∠MOA =  ,,,,,,,,例6. 证明三角形余弦定理,证: 如图 .,则,,,,,,,,,设,,,,例7. 已知三点, AMB .,,,,,解:,,,则,,,求,故,例8. 已知三点,角形 ABC 的面积 .,解: 如图所示,,,,,,,,,,,,,求三,例9. 已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解: 已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,,,,例10、 证明正弦定理,所以,因,例11,1. 已知向量,的夹角,且,解：,,,,,在顶点为,三角形中,,求 AC 边上的高 BD .,解：,,,,三角形 ABC 的面积为,,例12.,而,故有,,,识记,1. 空间曲面,,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,识记： 二次曲面,,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,例13、求,在xOy 面上的投影曲线方程为,,,例14.求过三点,即,,解: 取该平面 的法向量为,的平面  的方程.,利用点法式得平面  的方程,,,,,,例15. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P40例4 , 自己练习),例16,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,,,因此有,例17. 一平面通过两点,垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,,,和,则所求平面,故,,方程为,,且,例18,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面,的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为,,,它与所给平面的,与平面,例19.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,,,,,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,,,例20. 求以下两直线的夹角,解: 直线L1的方向向量为,直线L2的方向向量为,二直线夹角 的余弦为,(参考P44 例2 ),从而,,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,,,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,例21,,,,设所求直线与 L2 的交点为,,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点 .,即,故所求直线方程为,则有,,代入上式 , 得,由点向式得所求直线方程,而,,,,例22. 求直线,与平面,的交点 .,提示: 化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,,例23. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线,垂直相交的直线方程.,提示: 先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,①,,,,,,,,,过已知点且垂直于已知直线,,,例24. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择 使其与已知平面垂直,,得,这是投影平面,,,即,从而得投影直线方程,,故应有：,这是给定的平面,,例25. 设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,,,所求为,例26. 求过直线,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,,从而得所求平面方程,,,,,,,作业： P12 5,14,15,18,19 P22 3,6,7，10 P30 7,8(1),(5) P37 3,4，6,8 P42 2,3,6,9 P49 4,5,7,911,13,15,。