黎曼积分与勒贝格积分的比较.docx

毕业论文题　 目　 黎曼积分与勒贝格积分的比较 学 　院 *＊***＊**＊**＊＊**＊ 　　　 姓　 名 　　 ***＊ 　 　 专业班级 ***＊＊***　 学 号 　 *****＊***　 　 指引教师 　 　 　 　　　　提交日期 　 　　 　　 　 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指引教师的指引下独立进行研究所获得的成果.学位论文中但凡引用她人已经刊登或未经刊登的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不涉及任何其她个人或集体已经刊登或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承当．论文作者签名:年 月　 日论文指引教师签名:年 月　 日黎曼积分与勒贝格积分的比较摘 要 本文简介了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分的基本性质，可积条件,结合有关定理,分析了勒贝格积分在积分与极限互换顺序的条件规定上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体阐明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别. 核心字 黎曼积分; 勒贝格积分；比较；可测函数;可积函数.目录引言 11 定义 11.1黎曼积分的定义ﻩ１１.2 勒贝格积分的定义ﻩ２２ 　黎曼积分与勒贝格积分的基本性质ﻩ22．１黎曼积分的基本性质 ２2.２勒贝格积分的基本性质ﻩ33 黎曼可积与勒贝格可积的条件ﻩ４3.１黎曼可积的条件 43.２勒贝格可积的条件ﻩ54 　有关定理 54.1与勒贝格积分有关的定理 5４.２与黎曼积分有关的定理 65 黎曼积分与勒贝格积分的联系 66　　黎曼积分与勒贝格积分的区别ﻩ87 实例 10总结ﻩ１１参照文献ﻩ１2道谢ﻩ1３黎曼积分与勒贝格积分的比较引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们懂得，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数重要是持续函数或者不持续点不太多的函数，就从数学分析中的某些重要成果如积分与极限互换顺序,重积分互换顺序,牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样以便．而用勒贝格积分解决这一类问题是相称灵活的．事实上,如果不用勒贝格测度概念,数学分析中的某些道理很难讲清晰.下面就具体比较一下勒贝格积分和黎曼积分的不同解决措施.１ 定义1.1黎曼积分的定义设在上有定义1） 作划分.在上添加个分点得到,将提成个社区间，记社区间的长度为．2） 取近似.任取点，用底为　，高为的矩形面积近似替代小的曲边梯形的面积．3） 求和.这些小矩形面积之和为.4） 取极限．令，当时,极限 　　 　 　 存在.则称在上黎曼可积，且有 　 　 　 　 　 1.２ 勒贝格积分的定义设是有界可测集上的可测函数1） (简朴函数的积分） 设上简朴函数,其中档为互不相交的可测集，等互异,表达的特性函数.和为简朴函数在上的积分,并记为 　　　 　　 　 2） （非负可测函数的积分) 取简朴函数满足，另变动,定义在上积分为 　 　 　　　　　　　 如果此量为有限，则称在上可积，否则只说在上积分为(这时在上有积分但不可积）．3） (一般可测函数的积分）对于一般可测函数,当与不同步为时，定义 在上的积分为 当此式右端两项均为有限项时,的积分是有限的，称在上可积.2 　黎曼积分与勒贝格积分的基本性质2.1黎曼积分的基本性质　　 性质１ 　若在上黎曼可积，为常数，则在上黎曼可积,且 　　 　 .　 　性质2 　若，都在上黎曼可积，则在上也黎曼可积，且 　　 　 　 　 　　　　. 性质3　　若,都在上黎曼可积,则在上也黎曼可积. 性质４ 　在上黎曼可积的充要条件是:任给，在与都黎曼可积，且有等式　 　 　 　　 　 ．性质5 设为上的黎曼可积函数．若，,则　　 　 　　 .性质６ 　若在上黎曼可积，则在上也黎曼可积，且 　 　　 　 　 .2．2勒贝格积分的基本性质性质１　　设是有界可测集上的可积函数，，等均可测且两两不相交，则有 　 　 ．性质2 设在有界可测集上可积,则对任意正数，有正数,使当时就有 　　 　 　 ．性质 3　 设是有界可测集上的可积函数，,等均可测且两两不相交,则 　.性质　４ 设在上可积，则对任何实数，也可积，且 　 　 　　　 　．性质　5 设在,上均可积，则也可积，且　　 　 　　 　 　　 .性质 6 设在，上均可积,且,则　 　 　　 　 　　　 .3 黎曼可积与勒贝格可积的条件3.１黎曼可积的条件充足条件：1、若为定义在上的持续函数，则在上黎曼可积.2、若为定义在上的只有有限个间断点的有界函数,则在上黎曼可积.3、若为定义在上的单调函数,则在上黎曼可积.4、若为定义在上的有界函数,是的间断点,且，则在上黎曼可积.充要条件:设在上有界1、在上黎曼可积的充要条件是:在上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即 设为对的任意分割.由在上有界，它在每个上存在上、下确界:　 　 　 　 　　 ，作和 　 　　　,，则有　 　 　　.2、在上黎曼可积的充要条件是：任给,总存在相应的一种分割,使得 　　 　 　　 　.３、在上黎曼可积的充要条件是:任给，总存在相应的某一分割，使得 　 　　 　 　 (其中，称为在上的振幅）.必要条件：若函数在上黎曼可积,则在上必然有界.3.２勒贝格可积的条件充足条件:1、 若是有界可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积.2、若可测函数,在可测集上几乎到处满足,则当可积时,也可积．3、设为定义在有限区间上的函数,若黎曼可积,则必然勒贝格可积．充要条件：1、设是可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件是:在上勒贝格可测.2、设是可测集上的持续函数，则在上勒贝格可积的充要条件是:在上勒贝格可测.4　 有关定理4.１与勒贝格积分有关的定理1、(唯一性定理)设在可测集上勒贝格可积，则的充要条件是.2、(勒维定理)设可测集上可测函数列满足下面的条件:　 　　 　 　 ，则的积分序列收敛于的积分： 　 　 　 .3、(法杜定理)设是可测集上的非负可测函数列，则 　　 　 　 .４、(控制收敛定理）设可测集上可测函数列满足下面的条件:的极限存在，，且有可积函数使 　 　 　 　 ，则可积,且有 　　 　　 　 　 ．４．2与黎曼积分有关的定理1（持续性）若函数列在区间上一致收敛,且每一项都持续，则其极限函数在上也持续．２(可积性)若函数列在上一致收敛，且每一项都持续，则 　 　 　 　　 .3(可微性)设为定义在上的函数列，若为的收敛点,的每一项在上有持续的导数，且在上一致收敛,则　 　　 　 　　.５ 黎曼积分与勒贝格积分的联系1、对于定义在上的函数,若它是黎曼可积的,则必然是勒贝格可积的,且 　 　　 　　　　 　　 　由此可知,一般在计算勒贝格积分时，一般先考虑该函数与否黎曼可积,如果可以,那么就先化为黎曼积分求解.下面先看一种例子.例1 计算在上的积分．解 用截断函数求解 　 　是上的非负函数,作截断函数 　　 　 　　 　　 　 　　 　 显然,对每个均黎曼可积，故也勒贝格可积,且有 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 于是　,　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　 　　　 　　 　　 　 　 　 　 　 注:上述结论只对上的有界函数成立，对于无界函数的广义积分，结论不再成立.例2 在上定义函数 其反常积分的值为，但,不是勒贝格可积的.但对于非负有界函数的黎曼反常积分,若在上黎曼反常积分存在,则必勒贝格可积的，且积分值相等.2、 勒贝格可积的函数不一定黎曼可积例3 在上定义狄利克雷函数: 　 　　 　 　 　 　 就不是黎曼可积的.事实上，对区间的任意分划,一切积分大和等于,一切积分小和等于.因而不也许是黎曼可积的.但是，注意到,就懂得的勒贝格积分存在且等于.3、 勒贝格积分是一定意义下黎曼积分的推广(测度是长度的推广，可测函数是持续函数的推广)注:勒贝格积分并不是单纯的对黎曼积分的推广例4 设函数定义在上，由于在广义积分理论有，从而是黎曼可积的,但是在勒贝格积分理论中，由于,即非绝对可积，故不是勒贝格可积的.6 　黎曼积分与勒贝格积分的区别1、 就可积函数的积分范畴来看,勒贝格积分比黎曼积分更广泛.对定义域和值域的划分是黎曼积分与勒贝格积分最本质的区别.黎曼积分是将给定的函数划分定义域而产生的，而勒贝格积分是通过划分函数值域而产生的. 黎曼积分划分后的区间长度很容易给出,但当分割的细度加细时，函数的振幅仍也许较大,而勒贝格积分的长处是函数的振幅较小，从而扩展了可积函数类,使许多问题得到解决.但一般不再是区间，而是可测集,其度量一般不容易给出.然而就是这一点点差别，使勒贝格积分具有了诸多黎曼积分所不具有的良好性质.由于勒贝格积分相对黎曼积分的2、 从某些极限过程来看,勒贝格积分比黎曼积分更优越些.对黎曼积分来说，有关积分列求极限的问题，常常规定函数序列一致收敛(充足条件),极限才可以与积分号互换顺序.从运算的角度看不仅不以便,限制也过强.然而有关勒贝格积分,对函数列的规定就宽的多.例5 在上定义狄利克雷函数：把中的有理点依次排列为 　　 　 　 　 作函数:则到处收敛于,且，.由勒贝格控制收敛定理知,是勒贝格可积的,且有 　 ．但由例3知，不是黎曼可积的，就谈不上上述极限等式成立的也许性.尽管在黎曼积分意义下, 　 　 　， 　 .3、 微积分基本定理的使用范畴扩大了.我们来看数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 　 　 　 在数学分析中一般在有持续导数的假定下证明上述公式，或者将条件削弱些，但总规定为黎曼可积才行.可是对于勒贝格积分情形,可以在为勒贝格可积的条件下进行讨论.当有界时,证明微积分基本定理并不难,但当无界时,只要是可积的，微积分基。