对一些求极限方法的探讨.doc

1对 一 些 求 极 限 方 法 的 探 讨摘 要 极 限 问 题 是 数 学 分 析 的 基 本 问 题 之 一 ， 它 贯 穿 数 学 分 析 的 始 终.本 文 在 已 学 习 过 的 极 限的 基 础 上 对 解 决 极 限 问 题 的 方 法 进 行 扩 充 ，以 罗 比 达 法 则 为 模 板 ， 通 过 对 应 用 Stolz定 理 解 决 不 同极 限 问 题 进 行 分 析 的 方 法 对 Stolz定 理 进 行 探 讨 ， 分 析 Stolz定 理 在 解 决 不 同 极 限 问 题 方 面 的 优 劣 性.关 键 词 极 限 ； 罗 比 达 法 则 ； Stolz定 理On the Ｌ imits of Ｔ he Ｒ elevant Ｍ ethods are Ｄ iscussedAbstract The limitation of mathematical analysis is one of the basic questions, it runs through the mathematical analysis always. This paper has studied the in the limit of the basis for solving the methods of the limit of expanded to robbie of law as a template, through to the application Stolz theorem to solve different problems limit analysis method to discuss Stolz theorem, this paper analyzes Stolz theorem in solving the limit of the merits of the different in nature.Key words limitation； L’Hospital’s Rule； Stolz theorem1引 言2在 数 学 分 析 中 ， 极 限 是 整 个 学 习 过 程 的 基 础 ， 极 限 思 想 是 解 决 许 多 问 题 的 依 据.在 极 限 的 学 习 过程 中 ， 极 限 的 求 法 与 证 明 方 法 多 种 多 样 ， 在 大 学 数 学 中 主 要 介 绍 了 解 决 极 限 问 题 的 基 础 方 法， 但 是[1]对 某 些 极 限 问 题 ， 仅 用 极 限 的 性 质 及 定 义 证 明 是不 够 的 ． 因 此 ， 在 解 决 某 些 极 限 问 题 的 时 候 ， 有必 要引 进 某 些 定 理 或 法 则 ， 使 得 解 决 极 限 问 题 的 过 程 尽 量 的 简 洁 化 ， 如 罗 比 达 法 则 、Stolz定 理 ． 罗 比 达法 则 是 处 理 “ ”和 “ ”型 的 连 续 极 限 问 题 的 重 要 工 具 ，而 Stolz定 理 则 是 处 理 “ ”和0 0“ ”型 离 散 极 限 问 题 的 重 要 工 具.罗 比 达 法 则 在 大 学 教 学 过 程 中 有 过 已 经 有 过 简 单 地 学 习， 在 相 关的 资 料 中 也 有 较 为 详 细 的 介 绍 ． 关 于 Stolz定 理 ， 没 有 列 入 大 学 教 材 中 ， 但 是 不 可 否 认 他 在 解[2]决 极 限 问 题 方 面 的 重 要 性． 在 相 关 文 献 中 就 有 详 细 的 Stolz定 理 及 证 明 ， 并 有 Stolz定 理 的 相 关[3]推 论 及 证 明 ， 而 且 对 Stolz定 理 的 几 何 意 义 也 有 详 细 的 分 析 ． 在 Stolz定 理 的 应 用 方 面 ， 在 相[4] [5]关 文 献 中 也 有 介 绍 ， 如 Stolz定 理 在 解 决 待 定 的 数 列 不 定 式 极 限 方 面 的 应 用 、 在研 究 数 列 渐 进[6~9]性 方 面 的 应 用 、 在 解 决 函 数 极 限 问 题 方 面 的 应 用 、 在 证 明 某 些 经 典 命 题 方 面 的 应 用 及 解 决 某些 特 殊 极 限 问 题 上 的 应 用 等 ．2罗 比 达 法 则定 理 1 （ 罗 比 达 法 则 ） 若 函 数 ， 满 足 ：[] fg1） ；00lim()li()xxf2） ， 在 区 间 （ ， ） 上 可 导 ， 且 ；fgb()0gx3） ， （ 可 为 实 数 或 或 ） ，0()lixA则3.00()()limlixxffAg推 论 1 设 ， 在 区 间 上 可 导 ， 且[2]fg(,)a， , ，li0li(xxfg)0x(,)a若 （ 可 为 实 数 或 或 ） ， 那 么()limxfAg.()()limlixxffAg推 论 2 设 当 时 ， 均 为 型 ， 且 ， =1,2,3， , ,如[]0x(1),,nff 0()0igxi n果 （ 可 为 实 数 或 或 ） ,则0()limnxfAg.000()()()limlilimnxxxfffgg例 1 设 在 点 处 2阶 可 导 ， 求 证f.20()()(()liafxfafxf证 明 ： 因 为 函 数 在 点 处 二 阶 可 导 ， 所 以 ，使得 在 中 一 阶 可 导 ，fx0f(,)于 是 由 罗 比 达 法 则 20()()(limafxfafx= 20liaff01()()(li[ ]afxffxaf. ()(()2fff证 毕 .定 理 2 （ 罗 比 达 法 则 ） 若 函 数 和 满 足 ：[1] fg41） ， 在 上 可 导 ， 且 ；fg0()Ux()0gx2） ；00limlixxf3） （ 可 为 实 数 或 或 ） ,0()lixfAg 则.0()limxfAg注 1:不 能 对 所 有 的 比 式 极 限 都 用 罗 比 达 法 则 求 解 ， 首 先 必 须 看 它 是 否 不 定 式 极 限， 其 次 看 其 是 否 满 足 罗 比 达法 则 的 其 他 条 件 .注 2： 罗 比 达 法 则 是 以 导 数 为 工 具 ， 研 究 不 定 式 极 限 的 方 法 ， 柯 西 中 值 定 理 是 建 立 罗 比 达 法 则 的 理 论 依 据. 关 于型 不 定 式 极 限 ， 类 似 型 不 定 式 极 限 的 相 关 定 理 ， 可 以 得 到 类 似 的 相 关 推 论.03 Stolz定 理 及 其 应 用 3.1 Stolz定 理 及 相 关 推 论 定 理 1 设 有 数 列 { }， { }， 其 中 { }严 格 递 增 （ 即 ， 有 ） ， 且[3]nxynxnNnx1， ， 若 ,则n+limn+li1()limnayx有 限 数.()linayx有 限 数这 个 定 理 的 几 何 意 义 就 是 把 （ ， ） 看 作 平 面 上 的 点 ， 假 设 的 横 坐 标 逐 渐 递 增 且 趋n nKn于 无 穷 大 时 ， 那 么 当 的 斜 率 以 （ 为 有 限 数 或 ） 为 极 限 时 ， 那 么 （ O为 原 点 ） 的n+1Ka斜 率 也 以 （ 为 有 限 数 或 ） 为 极 限 .a5定 理 2 设 有 数 列 { }， { },其 中 { }严 格 递 减 ， 且 ， ， 如 果[3] nxynx+lim0nx+li0ny（ 为 实 数 或 ） ， 那 么1limnyax.1lim=alinnyyxx注 ： 以 上 两 个 定 理 ， 型 的 Stolz定 理 只 要 求 分 母 严 格 递 增 且 趋 于 无 穷 就 可 以 了 ， 但 是 型 的Stolz定 理 却 要 求 分子 分 母 的 极 限 都 必 须 为 0.推 论 1 设 为 正 常 数 ， 若 函 数 满 足[3]T(),[,)fxga1） ；0()(,[gxa2） ， ；+limxf+li)0xg3） ，+()(li1xfTfg则 .+()li1xf推 论 2 设 为 正 常 数 ， 若 函 数 满 足[3]T(),[,)fxga（ 1） ；()(,[gxa（ 2） ， 在 的 任 一 子 区 间 上 有 界 ，+limx)fx,)（ 3） ，+()(li1xfTfg则 .+()li1xf注 ： 以 上 两 个 推 论 主 要 讲 的 是Stolz定 理 在 函 数 极 限 方 面 推 广.3.2 Stolz定 理 的 应 用3.2.1“ ”型 的 数 列 不 定 式 极 限6例 2 求 解 极 限 .12limkknn解 令 = ， = ， 很 明 显 ， 数 列 { }， { } 满 足 定 理 1的 条 件 ， 由x1kk ny1knxy定 理 1可 得 ： = = ，liny1linx11li()kn应 用 展 开 式 ： = ，则 有 ，1()k+kk-(+)-()2!=limnxykk-1li()(1)n2!li(+)(1)()2!nkon.k注 ： Stolz定 理 是 求 解 “ ”型 的 不 定 式 极 限 的 有 效 工 具 ， 从 这 方 面 讲 ，Stolz定 理 具 有 与 罗 比 达 法 则 同 等的 效 果 .3.2.2“ ”型 的 数 列 不 定 式 极 限0例 3 设 数 列 { }， { }满 足 ： = ， = ， 其 中nxynx12kaan y12kbbn， =1,2， …， ， 求 解 极 限 .,iabRiklimnx解 由 题 中 给 出 的 已 知 条 件 可 以 知 道 ， = =0， 又 由 定 理 2可 得 ：linliny，1limlilimliknn knnkaxxbyy又 因 为 ， =1,2， …， ， 所 以,iabRik7.limnkxayb3.2.3 在 研 究 数 列 渐 近 性 方 面 的 应 用例 4 设 ， 为 正 数 且 .令 则 ， 即0,1ap0x10pax1pnnxa1lim()2pnxa.1lim()pn证 明 由 题 可 知 .li0nx又 由 Stolz公 式 和 罗 比 达 法 则 ， 有11limli()ppnnxx11li[)]ppnna.1(lipnnx令 ， 当 时 ， ， 故 有1pnbx0b，110()limli (1)ppnbxaLHositalp所 以 ， . 证 毕 .1li()pnxa例 5 设 a>0， p>1， 取 为 正 数 且 ， 令 ， 则0x10pax1pnnxa.[()]liml2()pn证 明 由 可 得1pnxa.111()pnppnnaxx又 由 1[()]lnpnax。