自动控制原理：第四章 根轨迹法.ppt

4-1 根轨迹的基本概念4-2 绘制根轨迹的基本规则4-3 控制系统根轨迹的绘制4-4 广义根轨迹4-5 线性系统的根轨迹分析方法 第四章 根轨迹法 1 4-1根轨迹的基本概念v根轨迹：根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹v根轨迹方法是一种图解方法2系统的闭环传递函数为:系统特征方程为:解方程得闭环特征根为:3K 取不同值对应的闭环根 s1,s2K 0 1/4 1/21S1 0-0.134-0.293-1-1+jS2 -2-1.866-0.854-1-1-jK=0K=0K=K= K=14闭环传递函数闭环特征方程开环传递函数开环增益根轨迹增益开环零点开环极点特征方程写成根轨迹方程5幅值条件： 相角条件：满足上述两个条件的s值，就是特征方程的根，即系统的闭环极点！返回64-2 绘制根轨迹的基本规则结论: 由此求得根轨迹的起点为系统的开环极点; 根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点1. 根轨迹的起点和终点 其二(nm 时): 只有当s , P(s)/Q(s) 0 其一:1)当 =0时,由幅值条件,必有2)当 时,由幅值条件,存在两种可能: 起点终点7规则二：根轨迹的分支数与m和n中的大者相等，根轨迹是连续的且关于实轴对称 根轨迹的分支数等于闭环极点数规则三：实轴上，某线段右侧的零、极点个数之和为奇数，则此线段为根轨迹的一部分根轨迹或是在实轴上，或是关于实轴对称S1S2S1点所在的线段是根轨迹的一部分, S2点所在的线段不是根轨迹的一部分8规则四：根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角为有n-m条根轨迹沿n-m条渐近线趋于无穷远处。

渐近线在实轴上的交点坐标为60o9会合点分离点规则五：分离点和会合点一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点 两个零点间的根轨迹上必有一个会合点(1) 重根法(2) 用相角条件求分离点、会合点的方法：10规则六：起始角和终止角(1)起始角(2)终止角11求起始角的例子33.5o63.5o135o90o12例:系统的特征方程为 -j3.74j3.74=0=0因此,与虚轴交点的坐标为j 3.74规则七：根轨迹与虚轴的交点（1）直接利用特征方程求解以 代入 13(2) 利用劳斯判据 将系统特征方程展开为: K = 60 =0 10+K 劳斯阵列表为: 1 14 5 10+K 14补 充 规 则v规则八：闭环极点之和系统满足n-m2时,系统闭环极点之和等于开环极点之和 v规则九：闭环极点之积系统的n-m且有开环零点位于原点时,系统闭环极点之积就等于开环极点之积返回154-3 控制系统根轨迹的绘制例4-2：闭环系统的特征方程如下，试绘制系统的根轨迹图解：系统的开环传递函数为-6-50-1-3-5.53根轨迹有5支实轴上的根轨迹位于0-3及-5-6之间四条渐近线渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的夹角为极点-1+j的起始角为分离点用试探法求得分离点为根轨迹与虚轴的交点将 代入辅助方程， 解得16例4-3 闭环系统的特征方程绘制控制系统的大致根轨迹实轴上的根轨迹位于0-4之间。

分离点方程为-40-2+j4-2-j4-2-j2.45-2+j2.45渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的夹角为令 ，代入特征方程得令实部和虚部为零，有解：系统的开环传递函数为17-10-10实轴上的根轨迹位于-1-10之间研究以 为参变量，a取以下几个特殊值时系统的根轨迹： 当a=10和a=3时的根轨迹； 确定使根轨迹上仅有一个非零值分离点时a的数值例4-4 已知负反馈系统的特征方程为解：当a=10，系统的开环传递函数为 -4-2.5-4.5渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点求分离点、会合点解方程得18当a=3，开环传递函数为 渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的夹角求分离点解为复数，舍去 实轴上的根轨迹位于-3-1之间-3-1019求仅有一个分离点时的值，即求方程 有重根时的 值 -10-50若方程有重根，则有 20分离点方程为解得例4-5 设系统的开环传递函数如下，试绘制系统的根轨迹，并证明复平面上的根轨迹是圆实轴上的根轨迹为 整理得0-1-0.5 -0.1-1.670.33设设 点在根轨轨迹上，则应满则应满 足相角条件将 代入上式 即有 两边取正切，有212.当 有公因子相约时，要将抵消掉的极点加到由根轨迹得到的闭环极点中去 如下图控制系统-R(s)C(s)系统的特征方程为若求系统的开环传递函数则有得应将 这一极点增加到系统中去，如右图R(s)C(s)其闭环传递函数为 返回22设系统的闭环特征方程为则将方程展开左端展开成多项式，用不含待讨论参数的各项除方程两端，得到4-4 广义根轨迹定义：不以 为变量、非负反馈系统的根轨迹 等效开环传递函数一、以非 为变参数的根轨迹23例4-6 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘试绘 制以 为为参变变量的根轨轨迹图图 解：系统的闭环特征方程为(1)求等效开环传递环传递 函数等效开环传递函数为0-2(3)实轴实轴 上的根轨轨迹位 于 之间间 (4)从复数极点起始的相角为终止于原点的零点的相角为24例4-7 设负反馈系统前向通道的传递函数为 若采用测速反馈 ，试画出以 为参变量的根轨迹实轴上的根轨迹为负虚轴-j3-j2-j1j3j2j10-2-1-4-3-3.16求根轨迹的会合点将 代入特征方程求得 值为 求根轨迹的起始角 解：特征方程为25特征方程为若系统的开环传递函数为二、正反馈系统的根轨迹幅值条件 相角条件正反馈与负反馈系统的幅值条件相同，相角条件不同而正反馈系统的相角满足 负反馈系统的相角满足 绘制正反馈系统的根轨迹需在负反馈系统根轨迹的画法规则中，与相角条件有关的规则都要作相应的修改 26需要修改的规则如下：规则3 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分规则4 根轨迹的渐近线与实轴交于一点渐近线与实轴的夹角为交点坐标为规则6 根轨迹的起始角 和终止角 27实轴上的根轨迹为（ ）例48 正反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并求出使系统稳定 的取值范围 解：根轨迹有4条渐近线渐近线与实轴的交点为 0-1起始角为 求分离点得根轨迹的分离点 系统的特征方程为 由劳斯判据可知，当 时，闭环系统临界稳定，根轨迹与虚轴的交点为 28三、 非最小相位系统的根轨迹 非最小相位系统:开环传递函数在右半s平面有零点或极点的系统设某负反馈系统的开环传递函数为该系统的根轨迹方程与正反馈系统的一样，其幅值条件和相角条件分别为29例49 设负反馈系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹解：系统存在两个在右半s平面的开环零点，故该系统为非最小相位系统根轨迹方程为应按0根轨迹的规则作图 渐近线与实轴重合 求分离点解得， 0在两个复数极点处，根轨迹的起始角为3.6-3.143.14求根轨迹与虚轴的交点。

将 代入特征方程，并令其实部和虚部分别为零，有得到方程组 解得 实轴上的根轨迹为 0,-3，1, 30-2-4-62j2j4j6-j2-j4-j6例4-10 具有自动驾驶仪的飞机在纵向运动中的开环传递函数可简化为试绘制系统的根轨迹，并求使系统稳定的 的取值范围 实轴上的根轨迹位于0，1，-1, 有三条渐近线，它们与实轴的交点为渐近线与实轴正方向的夹角为解：分离点会合点由求根轨迹分离点的公式有化简得 用试探法，可求得上面方程的两个实数根为 用长除法可求得另外两个根为 2.56-2.561.56-1.56根据劳斯判据，可以求出根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程为 劳斯表如下=0对于极点 ,起始角为 对于极点 ,起始角为 由根轨迹可知，当 时，系统稳定，当 值超出这一范围时，系统不稳定 31 根轨迹法分析系统，是由系统开环零极点的分布，得到系统的根轨迹，由根轨迹来分析系统的稳定性，分析闭环极点随系统参数变化改变其在复平面上的分布位置，而使系统性能随之发生的变化4-5 线性系统的根轨迹分析方法32一、主导极点的概念例如系统系统的单位阶跃响应为 指数项随时间的增加迅速衰减且幅值很小，故可忽略，所以 上式表明，系统可近似为一个二阶系统，其动态特性可由离虚轴较近的一对闭环极点确定，这样的闭环极点称为闭环主导极点 闭环极点 产生闭环复数极点 产生33闭环主导极点定义：在系统的时间响应过程中起主要作用的闭环极点，它们离虚轴的距离小于其它闭环极点的，并且在它附近没有闭环零点。

注：只有既接近虚轴，又不十分接近闭环零点的闭环极点，才可能成为主导极点 主导极点法:采用主导极点代替系统的全部闭环极点来估算系统性能指标的方法34例4-11 已知系统的开环传递函数为试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性并计算闭环主导极点具有阻尼比 时系统的动态性能指标 （1）作根轨迹图根轨迹在实轴上的线段为-1,0，-2,-3渐近线与实轴的交点为与实轴正方向的夹角为 和在实轴上的分离点为 解:1230-2.62-0.38由劳斯判据可求得根轨迹与虚轴的交点，=0将 代入，得所以，根轨迹与虚轴的交点为行的辅助方程为35（2）系统稳定性分析 由根轨迹图可知，四条根轨迹中有两条从s平面左半部穿过虚轴进入右半s平面，它们与虚轴的交点为 ，交点所对应的根轨迹增益 所以若使系统稳定，开环增益 的取值应小于1.67 由根轨迹增益与开环增益间的关系有 36 求主导极点 的位置方法是作 的等阻尼比线0A，使0A与负实轴方向的夹角为 ,0A与根轨迹的交点即是满足 的闭环主导极点之一1230AS1S2(3)动态性能分析由图测得：由对称性 由幅值条件可知，闭环极点 对应的根轨迹增益为 将 代入特征方程，可解得另两个闭环极点为 由于 所以 是主导极点37该二阶系统的闭环传递函数为 此时，对应的系统开环增益为系统的动态性能可根据二阶系统的性能指标公式计算调节时间超调量峰值时间38通过该例，可将用根轨迹法分析系统性能的步骤归纳如下：绘制系统的根轨迹图由根轨迹在复平面上的分布分析系统的稳定性若所有的根轨迹分支都位于S平面的左半平面无论开环增益取何值, 系统始终都是稳定的； 若有一条（或一条以上）根轨迹始终位于S 平面的右半部，则系统是不稳定的； 根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系 统的瞬态性能若当开环增益在某一范围取值，系统的根轨 迹都在S平面的左半部，而当开环增益在另 一范围取值时，有根轨迹分支进入S平面右 半部，则系统为有条件稳定系统，当系统根 轨迹穿过虚轴， 由左半S平面进入S平面所 对应的K*值， 称为临界稳定的根轨迹增益39二、增加开环零极点对根轨迹的影响例412 已知系统的开环传递函数如下，试用根轨迹法分析系统的稳定性，如果使系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响解：(1)系统的根轨迹如右图所示。

由于根轨迹全部位于s平面的右半部，所以该系统无论 取何值，系统都是不稳定的 0-a40当 时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ， 它们与实轴正方向的夹角分别为 ，三条根轨迹均在s平面左半部，如右图所示这时，无论 取何值，系统始终都是稳定的 -b-a0（2）如果给原系统增加一个负开环实零点 ，则开环传递函数为 与原系统相比，虽然根轨迹的形状发生了变化，但仍有两条根轨迹位于s平面的右半部，系统仍不稳定 当 时，根轨迹的渐近线与正实轴的交点为 ，根轨迹如右图所示-b-a041例4-13 系统的开环传递函数为试分析附加开环零点对系统性能的影响(1)原系统的根轨迹如右所示当 时，有两支根轨迹进入s平面右半部，成为不稳定系统 0解:（2）给原系统增加一负实零点 ，系统的开环传递函数为根轨迹的渐近线与正实轴的夹角分别为 ，与实轴的交点坐标位置随附加零点的取值而改变，下面分几种情况加以讨论（a）当 时，渐近线与实轴的交点为 0z渐近线位于s平面的右半部，根轨迹如右图所示当 时，系统变为不稳定 (b)当 时，渐近线与实轴的交点 渐近线在s平面左半部，根轨迹如右图所示由图可知，系统始终是稳定的0z(c)当 时，渐近线与实轴的交点也小于零，根轨迹如右图所示。