垂直关系——面面垂直.ppt

1.2.3垂直关系——面面垂直,如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直，就称这两个平面互相垂直记作：α⊥β1． 面面垂直的定义：,2、两个平面互相垂直的画法：,画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图所示，平面α和平面β垂直，记作：α⊥β3． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；,②图形语言：,,③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， AB α α⊥β4．平面与平面垂直的性质定理： ①文字语言：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；,②图形语言：,③符号语言：α⊥β,α∩β=a，AB α，AB⊥a，且垂足为B， AB⊥β.,已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD， BA α，BA⊥CD，B为垂足， 求证：BA⊥β.,证明：在平面β内过点B作BE⊥CD，,因为α⊥β， 所以BA⊥BE，,又因为BA⊥CD，CD∩BE=B，,所以BA⊥β练习题,1． 下列命题中正确的是（ ） （A）平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β （B）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β （C）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β （D）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β,C,2．设两个平面互相垂直，则（ ） （A）一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 （B）过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内 （C）过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 （D）分别在两个平面内的两条直线互相垂直,B,例1．已知：Rt△ABC，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角，求证： （1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平BDC； （2）∠BAC=60°.,,例2. 已知：四边形ABCD是平行四边形， 直线 SC⊥平面ABCD，E是SA的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD.,证明：连接AC，BD，交点为F， 连接EF，EF是△SAC的中位线，∴ EF//SC.,∵ SC⊥平面ABCD， ∴ EF⊥平面ABCD，,,又EF 平面BDE， ∴ 平面BDE⊥平面ABCD.,例3.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点,且AB=BC,AD=CD,PA=PC. 求证:平面PAC⊥平面PBD.,,,,,,,,,A,B,C,D,P,,,变式1 已知：长方体ABCD－A1B1C1D1，BE⊥B1C， 求证：平面BDE⊥平面A1BCD1。

证明：连接AC， ∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，,∴ AA1⊥面ABCD∴ AA1 ⊥ BD 又∵ ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD， ∴ BD ⊥面A1AC1C,得 A1C⊥BD.,BE ⊥ B1C BE ⊥A1B1 ∴ BE ⊥面B1A1DC， ∴ A1C⊥BE， ∴ A1C⊥面BDE，,又A1C 面A1BCD1，,∴ 平面BDE⊥平面A1BCD1.,变式2： 已知：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是 BB1，CD的中点,（1）求证：AD⊥D1F； （2）证明平面AED⊥平面A1FD1,E,F,,,,,。