高三数学一轮复习 第2单元 2.11导数的应用课件 理 新人教B版 课件.ppt

了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题 2.11 导数的应用1函数在某区间上单调的充分条件 一般地，设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么 函数yf(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y0，那么函数y f(x)为这个区间内的减函数2极大值 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)，x0是极大值点3极小值 一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)，x0是极小值点4求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成 表格检查 f(x)在方程根左右的值值的符号，如果左正右负负，那么f(x)在这这个根处处取 得极大值值；如果左负负右正，那么f(x)在这这个根处处取得极小值值；如果左右不 改变变符号，那么f(x)在这这个根处处无极值值5利用导数求函数的最值步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值值； (2)将f(x)的各极值值与f(a)、f(b)比较较得出函数f(x)在a，b上的最值值1对对于R上可导导的任意函数f(x)，若满满足(x1)f(x)0，则则必有() Af(0)f(2)2f(1) 解析：(x1)f(x)0， 或 函数yf(x)在(，1上单调递减，f(0)f(1)；在1，)上单调递增， f(2)f(1)， f(0)f(2)2f(1) 函数yf(x)可为常数函数，f(0)f(2)2f(1)故选C项 答案：C2函数f(x)x33x22在区间间1,1上的最大值值是() A2 B0 C2 D4 解析：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0，x2(舍去) 比较f(1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)maxf(0)2，选C项 答案：C3函数f(x)的定义义域为为开区间间(a，b)，导导函数f(x)在(a，b)内的图图象如图图所示， 则则函数f(x)在开区间间(a，b)内有极小值值点() A1个 B2个 C3个 D4个 解析：f(x)0单调递增，f(x)0. 由题中图象可知只有1个极小值点 答案：A4(2010开封高三月考)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致 图图象如右图图，则则 等于()解析：由题图可知f(1)f(0)f(2)0，解得：b1，c2，d0，则f(x)3x22x2，则 答案：C 此类题类题 主要考查查求函数的导导数、单调单调 性的判定以及单调单调 性的应应用，是高考考查查的重点，考题题可能以小题题形式出现现，也可以以中档大题题形式出现现应应注意函数yf(x)在区间间(a，b)上可导导，则则f(x)0是函数yf(x)在(a，b)上递递增的充分条件，并非充要条件【例1】设a为实为实 数，函数f(x)x3ax2(a21)x在(，0)和(1，)都是增 函数，求a的取值值范围围 解答：f(x)3x22ax(a21)，其判别别式4a212a212128a2. (1)若128a20，即a . 当x(， )或x( ，)时时， f(x)0，f(x)在(，)为为增函数 所以a . (2)若128a20，f(x)在(，)为为增函数(3)若128a20，即 ，令f(x)0，解得 当x(，x1)或x(x2，)时时，f(x)0，f(x)为为增函数；当x(x1，x2)时时，f(x)0，b0. (1)设A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证线段AB中点在曲线yf(x)上； (2)若ab0时时，求u的最大值值解答：(1)f(x)ax3cxd，f(x)3ax2c.根据已知条件 即 解得(2)由f(x)x3x，f(x)3x21，P点坐标(t，t3t)，联立整理得(xt)2(x2t)0，则Q点坐标为(2t，8t32t)， 要注意区分函数最大(小)值值与函数极值值的区别别、联联系函数的极值值是比较较极值值点附近的函数值值得出的，是局部性概念，而函数的最大(小)值值是比较较整个定义义区间间的函数值值得出的，是对对整个定义义域而言的在闭闭区间间a，b上连续连续 函数f(x)的最大(小)值值，是开区间间(a，b)内所有极大(小)值值与f(a)、f(b)中的最大(小)值值【例3】请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状 是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解答：由题图，设OO1为x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m)：于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：帐篷的体积为(单位：m3)：求导数，得令V(x)0，解得x2(不合题意，舍去)，x2.当1x0，V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0，V(x)为减函数 所以当x2时，V(x)最大当OO1为2 m时，帐篷的体积最大. 1在利用导数确定函数单调性时要注意结论“若yf(x)在(a，b)内可导，且 f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上是增函数”的使用方法此结论并非充要 条件如f(x)x3.在(，)上是递增的，但f(0)0；因此已知函数的 单调区间求函数关系式中字母范围时，要对f(x)0处的点进行检验2若函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最 小值的步骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较其中最大的是最大值，最小的是最小值； (3)特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值，极小值即为函数的最小值. 【方法规律】 (本题满分12分)已知函数f(x) x3ax2bx，且f(1)0. (1)试用含a的代数式表示b； (2)求f(x)的单调区间； (3)令a1，设函数f(x)在x1，x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1，f(x1)，N(x2，f(x2)，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点. 解答：(1)由已知f(x)x22axb，又f(1)0，则12ab0，即b2a1. (2)f(x)x22ax2a1(x2a1)(x1) 若(2a1)1即a1，f(x)(x1)20，则f(x)的递增区间为(，)；若(2a1)1， 则f(x)的递增区间为(，12a)，(1，)，递减区间为(12a，1)；若(2a1)1，即a0，g(2)0知g(x)在(0,2)上存在零点，即线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点 1. 导数的应用是高考考查的重点和热点，更多的与曲线的切线，函数的性质、 不等式、数列等内容进行综合考查，以解答题的形式出现，充分体现数形结 合，分类讨论等重要的数学思想方法，体现数学应用的重要性2本题主要考查通过求导、解决函数的单调性和函数零点存在等问题3近年来对以三次函数为背景的问题的考查愈演愈烈对三次函数图象和性质 有必要进行系统的挖掘和研究. 【分析点评】点击此处进入 作业手册。