第3讲 导数中含参问题的分类讨论.docx
12页
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b ； f (a:) = (ax + b) ex ; f' (a;) = 口 * (z > 0)X★ 2二次型导函数二次型导函数：除去(a; >二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中f (x) —* 况* °里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负) .例: f (a:) = ax2 +bx + c ； f (x) = (ax +bx + cj e注：以上a尹0,若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型;★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1) 先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;① 判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；② 求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题③ 根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2) 若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；① 如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；② 判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③ 如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④ 穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解 析式 就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e —2 ; (/ (x) = (a; — a) (Inx — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的 单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3) 在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是： ①等 于0的解， ②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = ex -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=ex -2 单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x)= 可以拟合成f' {x)— x— \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x「(x〉0)；则寸(c)=(z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x— a) (x— e3) (z > 0).歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(X)= lnx + —l'R),讨论函数六z)的单调性.X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/「)= - - 4 =与凸从而当a W0时,/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若乙€ (0,a)，贝lj「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a, +8),则f(z)>0,从而f (3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aW0时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在 (a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x)〈。
在(0,+oo)上恒成立，子⑥的单调递减区间是(0,+oo),没有单调递增区间若 a > 0，由 f (x) < 0 得〈x < ，由 fl (x) > 0 得 c > —综上所述，结论是：若a〈0,子冋的单调递减区间是(0,+8),没有单调递增区间若a>0'x)的单调递减区间是(0, ?),单调递增区间是(?, +8)考点2二次型含参导函数的分类讨论已知a e R,函数f（x） = 4x3 一 2ax + a.求六z）的单调区I司.解答：由题意得，定义域为（一& +oo）, f' （x） 一 12x2 — 2a当a〈0时，「（时2 0恒成立，此时山院的单调递增区间为（一8, +8）,无单调递减区综上所述，结论是：aWO时，函数f（院的单调递增区间为（-8, +8）a〉0时，函数山罚的单调递增区间为单调递减区间为设函数f （缶）=事3 +、ax2 +x + l,求/S）的单调区间.o厶解答:/冋=?工3 +排/ +仁+ 1当 ，即一 时，2WQW20时，即 〉△= Q2_4WO时在R上单调递增△ = q2—4>或 a < —2 时，x±—a — VA —a + \/A 一 2 —，吻=一 2 一 （工 _4,+8），单调减区间可得f（w）单调增区间为—a — Va2 一 4 _8,----------------- 2 -----------综上，一2Wa《2时，/（时在R上单调递增；a〉2或a <—2时,f（x）单调增区间为 土乎三I） , + \ T单调减区间为—a — “以 _ 4 —a + — 4已知函数/ (a:) = "-X2 + (1 一 a) a; — alnx,讨论了(z)的单调性.厶解答：,(/)的定义域为(0,+8)求导数，得 f (z)=z + l_a_"= 3 I 1)3 口)XX若 aWO,则 3) > 0此时，(苛在(0, +8)上单调递增若 a > 0，则由 f (%) =。
得 a? = a当 0 V a? < 口时，f (#) V 0当〉a时，f (x) > 0此时f 3)在(0, a) 上单调递减 在(a,+8)上单调递增综上所述，结论：若口〈0, /(£)在(0,+oo)上单调递增若@0,/(时在(0,a)上单调递减，在(但 +8)上单调递增设函数/ (z) = "-X2 — ax + (a — 1) Inx，求，(时的单调区间.厶解答：定义域为(0,+oo), f (c) = z-a+胃-宀饥+ a-1 _令 f (c) = 0,解得：ci = 1, X2 = a — 1当 a — 1 < 0,即 a
)上是增函数② 当厶=/—8 = 0,即卩 2厂时，仅z 时r (#) = 0Q=对其余的0,都有/(幻>此时山时在(8)上也是增函数x>③ 当厶二/一一 8> 0,即a >2 2时g(x)=左一ax + 2 = 0有两个不同的实根s = —' & ,叼二口 I曾一厶厶I , — 8 a + \/c?— 8由f (对C > 0得，0 V g V—- 或工> 由厂冋〈得，土零HI〈〈小尹 此时川)在(°, 土半xa &2 _ 8 a + &2 — 8——2 上单调递减m，+8)上单调递增，在综上所述：当0〈 a<2媚时，丁(院考点3拟合函数在指对型中的应用已知函数f (x) -ax，讨论函数六z)的单调性.解答：由题意知f (苛二一a当a W0时，F(z)>0,则子(院在R上单调递增当 a>0 时，令 f (a:) = 0,解得 z = lna，可看作 f (a:) = a: 一 In a(i)当 z€(一oo,hia)时，「(多)〈0,则一(a;)在(一& Ina)上单调递减(ii )当x e (Ina, +00)时，F(z)>0,则于(z)在(In a, +oo)上单调递增综上所述，当 aWO时，，(时在R上单调递增当a>0时，，(院在(-8, Ina)上单调递减，在(Ina, +00)上单调递增已知函数f (x)=& - 2ax，讨论函数山缶)在［0,1］上的单调性.解答：/(多)=e* —贝 I」/ (x) = ex —2a若QWO时，由于/ >0,则/(苛>0，贝■冋在［0,1］上单调递增若白>0, F(w)= 0时，％ = In2a,则导函数可看作：f (x) = x — ］n.2a 则/(时在(-00,111 r上单调递减，在(In 2a,+oo)上单调递增2Q)当时，In 2a，则f(z)在［0,1］上单调递减厶当0时，m 2a wo，则，(z)在［0,1］上单调递增厶当为〈口〈5时，0
