202X届高考数学（四川专用理科）必考题型过关练：第19练（含答案）.docx

第19练　三角函数化简与求值策略题型一　利用同角三角函数根本关系式化简与求值例1　tan α＝2，求：(1)的值；(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值．破题切入点　此题是关于正、余弦的齐次式，一般是同时除以余弦的相应次数，构造出关于该角的正切关系式，然后将正切值代入求解．解　(1)方法一　∵tan α＝2，∴cos α≠0，∴＝＝＝＝.方法二　由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得＝＝＝.(2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α＝＝＝＝.题型二　利用诱导公式化简与求值例2　(1)化简：；(2)求值：sin 690°·sin 150°＋cos 930°·cos(－570°)＋tan 120°·tan 1 050°.破题切入点　(1)利用诱导公式化成只含有角α的三角函数值，然后利用同角三角函数根本关系式求解．(2)利用诱导公式将各值化成锐角的三角函数值代入计算．解　(1)方法一　原式＝＝＝＝＝－·＝－1.方法二　原式＝＝＝＝－1.(2)原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1 080°－150°)·cos(720°－150°)＋tan(180°－60°)·tan(1 080°－30°)＝－sin 30°sin 30°＋cos 150°cos 150°＋tan 60°tan 30°＝－＋＋1＝.题型三　利用其他公式、代换等化简求值例3　(1)α是锐角，且＝，求角α的值；(2)求值：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°.破题切入点　(1)利用平方差公式将分子展开，然后再利用二倍角公式将等号左边化成关于角α的某个三角函数，进而求出．(2)逆用两角和的正切公式．解　(1)∵＝＝＝＝＝＝＝tan α，∴由可得tan α＝.又∵α是锐角，∴α＝.(2)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝tan 60°－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.总结提高　(1)三角函数的化简是指综合利用诱导公式、同角根本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，将较复杂的三角函数式进行化简，三角函数的求值问题要始终围绕“角〞做文章．特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等都在求值的过程中起着重要作用．(2)在运用同角三角函数关系及诱导公式时，要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，在进行开方时要根据角的象限或范围判断符号．(3)三角化简与求值是三角函数的根底，常用的方法有：①弦切互化：主要利用公式tan x＝进行弦切间的互化．②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③巧用1或其他数值的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan 等．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化，整式化．1．假设sin(π＋α)＝－，那么cos α等于(　　)A．± B. C．± D.答案　C解析　由sin(π＋α)＝－，得－sin α＝－，即sin α＝，∴cos α＝±＝±.2．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，那么tan(α＋β)的值为(　　)A．－3 B．－1 C．1 D．3答案　A解析　tan α＋tan β＝3，tan α×tan β＝2，所以tan(α＋β)＝＝－3.3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为(　　)A. B. C. D.答案　B解析　sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)[－cos(70°＋x)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin 45°＝.4．的值是(　　)A．－ B．－ C. D.答案　C解析　原式＝＝＝＝sin 30°＝.5．假设0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，那么cos等于(　　)A. B．－C. D．－答案　C解析　∵cos＝，0<α<，∴sin＝.又∵cos＝，－<β<0，∴sin＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.6．(2021·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，那么(　　)A．3α－β＝ B．2α－β＝C．3α＋β＝ D．2α＋β＝答案　B解析　由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，∴2α－β＝.7．tan α＝2，那么的值为________．答案　解析　＝＝＝tan α＋＝.8.·的值为________．答案　1解析　原式＝·＝·＝1.9．sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，那么tan θ＝________.答案　－解析　方法一　因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝－.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.又sin θcos θ＝－<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝，cos θ＝－.所以tan θ＝＝－.方法二　同法一，得sin θcos θ＝－，所以＝－.齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝－.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0.所以θ∈(，)，所以tan θ＝－.10．sin θ＋cos θ＝(0<θ<)，那么sin θ－cos θ的值为________．答案　－解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈(0，)，∴sin θ